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『解析概論』輪読

90：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/11(日) 05:42:32
命題　点Pを含む範囲で定義された函数f(P),g(P)について,
P→Aのときf(P)→α,g(P)→βならば,
(1°)　lim{P→A}(f(P)+g(P))=α+β.
(2°)　lim{P→A}(f(P)-g(P))=α-β.
(3°)　lim{P→A}(f(P)g(P))=αβ.
(4°)　lim{P→A}{f(P)/g(P)}=α/β.
ただし(4°)においては,β≠0である.

証明　(1°)　任意の正数εに対して,ある正数δ_1が存在し,AP<δ_1ならば
|f(P)-α|<ε/2とでき,このε/2に対しある正数δ_2が存在し,AP<δ_2ならば
|g(P)-β|<ε/2とできるので,δ_1,δ_2の大きくない方をδとおくと
AP<δなるPに対して
|(f(P)+g(P))-(α+β)|≦|f(P)-α|+|g(P)-β|<ε.

(2°)　任意の正数εに対して,ある正数δ_1が存在し,AP<δ_1ならば
|f(P)-α|<ε/2,とでき,このε/2に対しある正数δ_2が存在し,AP<δ_2ならば
|g(P)-β|<ε/2とできるので,δ_1,δ_2の大きくない方をδとおくと
AP<δなるPに対して
|(f(P)-g(P))-(α-β)|≦|f(P)-α|+|g(P)-β|<ε.
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