とはずがたり数理解析研究所講究録 - 1489154682

81：とはずがたり：2021/11/20(土) 21:31:28: ジャネの法則

【ゆっくり解説】5億年は本当に長いのか?パラドックス5億年ボタンについて
872,756 回視聴
2021/01/02
https://www.youtube.com/watch?v=hylxXSGvZQo

∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C
82：とはずがたり：2021/11/20(土) 21:32:09: ∫1/(1+x)dx=log|1+x|+C

ジャネの法則

【ゆっくり解説】5億年は本当に長いのか?パラドックス5億年ボタンについて
872,756 回視聴
2021/01/02
https://www.youtube.com/watch?v=hylxXSGvZQo
83：とはずがたり：2021/11/20(土) 23:48:53: この世を支配している方程式たちを紹介します
https://www.youtube.com/watch?v=4lKmdCPaxng

ナビエ?ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E8%A7%A3%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%A8%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%95
ナビエ?ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ?ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。

シュレディンガー方程式　Ψ(波動函数)

アインシュタイン方程式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
10元連立二階非線形偏微分方程式ｗ

重力波 (相対論)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B%E6%B3%A2_(%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96)
時空（重力場）の曲率（ゆがみ）の時間変動が波動として光速で伝播する現象
84：とはずがたり：2021/11/21(日) 16:29:02: 四元数への招待
https://www.youtube.com/watch?v=J6ja6UYk6X4

x^2+1=0

四元数　x=x_0+x_1 i+x_2 j+x_3 k

i^2=j^2=k^2=ijk=-1　ij=-ji=k (乗法の交換法則は成り立たない)

iじゃない垂直方向にjやkを考える。

三元数 → 数として満たして欲しい性質を満たさない(乗法について閉じてない)
85：とはずがたり：2021/11/21(日) 19:51:53: 平面に３次元を書いてそこから垂直に伸びるｚ軸を書く事で４次元っぽい図を書けるからそれで４次元の複素函数のグラフ書けないかなと思ったけどそんな単純でもないらしい。。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1147115741
2010/9/16 16:36
複素平面と座標平面を合体させると四次元的考えになりますか。

一次関数の場合
y = (a[1][1]+a[1][2]i)x + a[0][1]+a[0][2]i

二次関数の場合
y =(a[2][1]+a[2][2]i)x^2 + (a[1][1]+a[1][2]i)x + a[0][1]+a[0][2]i
グラフで表すことができるのでしょうか？

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ベストアンサー
Amy☆さん

2010/9/16 18:09

はーいo(^-^)o

複素関数は、2次元から2次元への写像ですねo(^-^)oもちろん、4次元にして扱うこともできなくはないでしょうけど、図示がきわめて難しいです(^^; そこで、変換前、変換後のグラフを書く2つの平面を用意することが普通ですo(^-^)o
まず、「z平面」っていって、変換前の複素数を
z=x+i*y

で表して図示します(実軸がx軸,虚軸がy軸)。そして複素関数
w=f(z)
による変換の結果をw平面に図示します。
w=u+i*v
実軸がu軸, 虚軸がv軸です。

2つの平面に分ける理由は4次元が図示しにくいことに留まりません(^^;
複素指数関数、複素対数関数、複素三角関数や、果ては実数なら単純なただのn乗根さえも、多対1や1対多の写像が当たり前のようにでてきます。また、z平面上のただの直線も、単純な複素関数により、w平面上で、円はまだマシで、放物線、双曲線、楕円などの2次曲線に変換されたりします(^^;(^^;(^^;なので、2面に分けても扱いはけっこう大変です(^0^)なので、もし変換前後を一つの図で扱おうなんてすると、確実に意味不明になることでしょう(^^;
86：とはずがたり：2022/01/19(水) 09:03:32: ネイピア数eの定義の証明をわかりやすく解説します【微分や二項定理の応用】
2019 3/28
数学Ⅲ
2019年3月28日
2021年6月16日
https://integraldx.info/napier-constant-472
87：とはずがたり：2022/03/02(水) 12:47:57: おもろい♪

ドラえもんの道具を数学的に考察したらヤバすぎたwww指数関数の恐ろしさ
https://www.youtube.com/watch?v=eMuOaOdWGPc

奇妙な数！双対数の不思議な数学の世界
https://www.youtube.com/watch?v=510gKvCD3w4
88：とはずがたり：2022/04/12(火) 00:00:26: 日本人凄いの恥ずかしいテンプレに流しこまれがちなのは望月さんのABC問題の解決も同じだけど，実はちゃんと解読は進んでいて問題点は系３．１２の証明に絞られつつあるみたいである。

また長々しい定義と自明というそっけない証明の連続でもあるようだ。

2018年9月20日、Quanta Magazine “Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture” の翻訳
https://tar0log.tumblr.com/post/648055627348869120/2018%E5%B9%B49%E6%9C%8820%E6%97%A5quanta-magazine-titans-of-mathematics

今回は日本国内向け。どうもこの話では、言語の壁があるせいで日本国内と海外で認識の差がありすぎるところが問題だと思えるので、内外で出回っている情報を相互に訳して提示することをしてみよう、という実験をしている。どのくらいの人々が読んでくれているのか分からないが。

この記事は、Scholze さんと Stix さんが2018年3月に京大を訪れて望月氏と議論し、そのレポートが公表された2018年9月の時点で Quanta Magazine に書かれたもの。筆者の Erica Klarreich さんは数学者でもありサイエンスライターでもある人。

その後論文は publish されてしまったが、ここで挙がっている「系3.12」問題の進展は3年間で実質的に何もなかったといっていいはず。

よく、望月論文は「未来から来た論文」で難解すぎるから理解されないという言い方がされるが、何もかもが宇宙語的で理解不能とか、そういう話ではない。ギャップが系3.12という定理の部分にある、と複数の数学者によって独立にピンポイントで指摘されている。つまり、ちゃんと読まれているし、ロジックもフォローされている。神秘性だけを刷り込むような報道は実態を反映していない、と思うわけです。

…

望月の証明を解説する会議が何度も開かれたにもかかわらず、数論学者たちはその根底にある考え方を理解するのに苦労した。望月の一連の論文は500ページ以上にわたって難解な文体で書かれており、さらに彼の過去の研究を500ページほど参照していることから、スタンフォード大学のBrian Conradによれば「ある種、無限に後退する感覚」と呼びたくなるようなものを引き起こすという。

…

2012年に望月が証明を発表したという情報が流れると、多くの数論学者は望月の研究に熱中した??だが、慣れない言葉遣いと変わった表現方法に戸惑っただけに終わった。定義が何ページにもわたって書かれ、定理も同様に長く書かれているが、証明は基本的に「これは定義からただちに導かれる」としか書かれていなかった。

「望月の論文を専門家（名前はオフレコ）が分析した話を聞くたびに、その報告は毎回驚くほど同じだ。自明なことが書かれた広大な原野に、不当な結論という巨大な崖が続いているのだ」と、Calegariは2017年12月のブログ投稿で書いている。
89：とはずがたり：2022/04/12(火) 00:00:37: >>88
…

そして、Scholzeは3番目の論文で系3.12にたどり着いた。数学者は通常、より重要な過去の定理の二次的な結果として得られる定理を「系 (corollary)」という用語で表す。しかし、望月の系3.12の場合には、これがABC予想の証明の核心であることが数学者の間で同意されている。この部分なしでは「証明はまったく存在しない」とCalegariは書いている。「ここが核心のステップだ」。

この系は、中間の2つの論文の中で証明が数行以上??9ページにも及ぶ唯一の定理だ。Scholzeはこの論文を読み進めるうちに、論理を全く追えなくなるポイントに突き当たった。

…

ABC予想に対する望月のアプローチは、この問題を、xとyの2変数を持つ3次方程式の特殊なタイプである「楕円曲線」に関する問題に変換するというものだ。望月の研究以前からよく知られていたこの変換は、各abc方程式を、グラフがx軸をa、bと原点で横切る楕円曲線に関連付けるという単純なものだが、こうすることで、数論と幾何学、微積分などを結びつける楕円曲線の豊かな構造を利用できるようになる（これと同じ変換は、Andrew Wilesによる1994年のフェルマーの最終定理の証明でも中心となっている）。

ABC予想は、楕円曲線に関連する2つの量の間の不等式を証明することに帰着する。望月の研究はこの不等式をさらに別の形に変換したもので、Stixによると、2つの集合の体積を比較するようなものだという。望月がこの新しい不等式の証明をしているのが系3.12で、これが正しければABC予想が証明されることになる。

この証明は、ScholzeとStixが説明しているように、2つの集合の体積を2つの異なる実数のコピーの中に住んでいると見なし、その実数のコピーを6つの異なる実数のコピーからなる円の一部として表現する。そこでは、それぞれのコピーが円に沿って隣のコピーとどのように関係しているかを説明する写像が用いられている。集合の体積が互いにどのように関係しているかを把握するためには、あるコピーの体積の測定値が他のコピーの測定値とどのように関係しているかを理解する必要がある、とStixは言う。

「2つのものを比較する不等式があったとしても、コントロールできない要因で物差しが縮んでしまったら、その不等式が実際に何を意味しているのかをコントロールできなくなってしまう」とStixは述べている。

ScholzeとStixは、この重要なポイントで論文の議論に問題が発生すると考えている。望月の写像では、物差しは局所的には互いに互換性がある。しかしStixによれば、円を一周すると、逆回りに一周した場合とは異なる形の物差しになってしまうという。この状況はエッシャーの有名な螺旋階段に似ているという。どんどん登っていくと、最後には最初の場所よりも低い所に着いてしまうのだ。

…
90：とはずがたり：2023/04/14(金) 18:03:38: ポアンカレ予想を証明した変人らしいｗ

グリゴリー・ペレルマン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3

【ゆっくり解説】証明に100年以上かかった数学の難問4選
https://www.youtube.com/watch?v=0UV032AGiKY
91：とはずがたり：2023/04/14(金) 20:59:47: 宇宙がいくつあっても足りない数！？「巨大数」を紹介（ゆっくり解説）
https://www.youtube.com/watch?v=ra43Cwr5uYI

グラハム数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%8F%E3%83%A0%E6%95%B0
92：とはずがたり：2023/04/29(土) 20:12:54: 5次方程式が解けない理由をなんとなく理解するのだ　VOICEVOX:ずんだもん
https://www.youtube.com/watch?v=IeCvAKyizLw
ニカ

５次方程式が解けないことの直感的説明
https://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html

「解の公式が存在する」ということは、方程式の係数に対して、加減乗除とベキ根（n乗根、ただしnは素数と考えてよい）を有限回作用させることでそれぞれの解が書き表せるということだ。
例えば、3次方程式

x3 + ax2 + bx + c = 0

を考えてみよう。3個の解を x1, x2, x3 とすると、解と係数の関係から、

-a = x1 + x2 + x3　　　(1)
b = x1x2 + x2x3 + x3x1　　　(1')
-c = x1x2x3　　　(1")

が成立する。方程式にとっては3個の解に「個性」はないから、どれが x1 でどれが x2 でどれが x3 でも構わない。従って、x1, x2, x3 の値をどのように入れ替えても（置換しても）、(1)~(1")の式は成立する。3つの元に対して、可能な置換は 3! = 6通りある。このように、どう置換しても値が変わらない式を対称式という。
3個の解は互いに何の関係もない独立したものなのに、方程式の中では、3個の解は分かちがたく結びついた形で表現されているのだ。
これを「x1 =（a, b, c の式）」の形として表すためには、この3個の解の間の結びつきをほぐさなければならない。
対称式同士でいくら加減乗除を行っても、つまり、方程式の係数 a, b, c を加減乗除を使ってどうこねくり回しても、対称式しか出てこない。対称式のもつ対称性を分解するためには、ベキ根の助けが必要になってくる。
＊　＊　＊　＊　＊
2次方程式 x2 + ax + b = 0 の解の公式は、

である。この2次方程式の解を x1, x2 とすると、根号の中身は
a2 ? 4b = (x1 + x2)2 ? 4x1x2 = (x1 - x2)2　　　(2)

となる。(2)は、x1 と x2 の入れ替え（置換）に対して不変である。
ところが、平方根をとると、y1 = x1 ? x2 と y2 = x2 ? x1 という2つの値が出てくる。これらの値は、次のような性質をもっている：

y2 は y1 の x1 と x2 を置換したものになっている
y2 は y1 に、1の平方根（のうち、1でないもの）を掛けた値になっている（つまり、y2 = -y1）
そのため、x1 ? x2 は x1 と x2 の置換によって値が変わるのに、2乗すると対称式になるのだ。

…
93：とはずがたり：2023/04/29(土) 20:20:03: そうかｗ

【ゆっくり解説】単純なのに難問...1本の毒ワインを見抜け！　毒ワインのパラドックス
https://www.youtube.com/watch?v=HAvIZAe0sWQ
94：とはずがたり：2023/12/19(火) 16:50:30: 数学もうよく解らんｗどうなってんの？？ｗｗ

Chudnovskyの円周率公式の証明
https://mathlog.info/articles/2100
95：とはずがたり：2023/12/19(火) 16:51:36: 祖沖之
そちゅうし
（429―500）
https://kotobank.jp/word/%E7%A5%96%E6%B2%96%E4%B9%8B-90156#goog_rewarded

数学上の業績としては『綴術(てつじゅつ)』の著作がある。この書は、今日に伝わっていないが、『隋書(ずいしょ)』の「律暦志」に記録があり、それによれば内容が難解なために学習する者がなく、いつのまにか使われなくなったという。また『隋書』によれば、この書に円周率の研究があり、祖沖之は3.1415926＜π＜3.1415927を計算し、約率としてπ=22／7、密率としてπ＝355／113を与えている。

暦学の分野での業績としては『大明暦』をつくったことがあげられる。
96：とはずがたり：2024/03/10(日) 18:36:43: ヘンペルのカラス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%82%B9
97：とはずがたり：2024/03/12(火) 23:02:55: 無限の猿定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E3%81%AE%E7%8C%BF%E5%AE%9A%E7%90%86
98：とはずがたり：2024/03/12(火) 23:10:23: モンティ・ホール問題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
99：とはずがたり：2024/03/14(木) 21:32:30: 「複素解析を習いたい」算数塾に現れた小4　世紀の超難問に挑む
https://www.asahi.com/articles/ASPDW3QDMPDQULBJ00P.html?oai=ASR7731Y5R76TOLB018&ref=livedoor_rltd
有料記事
石倉徹也2021年12月29日 8時00分
100：とはずがたり：2024/09/25(水) 22:50:14: これは面白い。

突然崩れるパターン | ボールウェイン積分
https://www.youtube.com/watch?v=LtWev-9vWIc
101：とはずがたり：2024/12/14(土) 10:37:48: なんと。。

時間の頻度で増大する数値はこれに从うらしい。

【ベンフォードの法則】この世に存在する数は明らかに偏っているんです
https://www.youtube.com/watch?v=TJsJab5xiLM
102：とはずがたり：2024/12/14(土) 10:41:29: 数学的に不可能と考えられていたヤバすぎる立体『ゴムボック』
https://www.youtube.com/watch?v=CKJSb-6gc_4

2018年9月4日火曜日
数学的オブジェ
http://hiblog2009.blogspot.com/2018/09/blog-post_4.html

2次元形態ならば、n辺の多角形は、n個の平衡点を持ち（辺の中心）、そしてn個の不安定平衡点を持つ（角）。これが、3次元物体となると話しが変わるらしく、安定点、不安定点に加えて“鞍点（Saddle point）“が現れる。言葉の通り、乗馬の鞍の形を思い浮かべる。そこに玉を置くとさまざまな方向へと転がり落ちてしまうが、ただ前後方向だけに理論上真っ直ぐに玉を押した時は、前後に転がってやがて鞍の中心で止まる。これが鞍点である。安定点iと不安定点jがあるなら、i+j-2個の鞍点があり、これはポアンカレ・ホップの定理として知られているそうだ。立方体なら、6つの安定点（面の中心）、8つの不安定点（角）そして12の鞍点（辺の中心）がある。
103：とはずがたり：2025/02/26(水) 11:48:34: 連続の理論を構築出来るものであるなら開集合と呼べる，のだそうだ，，

数学科最大の壁「位相空間論」
https://www.youtube.com/watch?v=CrkAYD5ua6o
104：とはずがたり：2025/02/26(水) 22:40:58: 連続函数が重要な概念の一つらしい。
実数を使わず論理式のみで定義されるそうな。

>>103はなかなか面白そうだけど声が気持ち悪くて長く聞く気が出ない。残念だ。

位相を用いた関数の連続性の判定
https://wiis.info/math/real-number/function/continuous-function-and-topology/

関数による任意の開集合の逆像が開集合であることは、その関数が定義域上において連続であるための必要十分条件です。また、関数による任意の有界開区間の逆像が開集合であることもまた、関数が連続であるための必要十分条件です。
105：とはずがたり：2025/02/27(木) 21:36:48: 本格的に利用したのはオイラーみたいだけどネイピア数eに名を残すネイピアだけど，ネイピアが発明した対数は底が0.9999999の対数表であったみたい。

三角函数の加法定理を使って掛け算を計算していたのを聞いたネイピアがもっと簡単な表をと思ったらしい。

ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について
https://qiita.com/yaju/items/af46fd43bb790b1a2f3a

対数の誕生・成長・発展
http://www7a.biglobe.ne.jp/~watmas/dosukyo/circle-reports/logarithm.pdf