とはずがたり数理解析研究所講究録

85：とはずがたり：2021/11/21(日) 19:51:53: 平面に３次元を書いてそこから垂直に伸びるｚ軸を書く事で４次元っぽい図を書けるからそれで４次元の複素函数のグラフ書けないかなと思ったけどそんな単純でもないらしい。。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1147115741
2010/9/16 16:36
複素平面と座標平面を合体させると四次元的考えになりますか。

一次関数の場合
y = (a[1][1]+a[1][2]i)x + a[0][1]+a[0][2]i

二次関数の場合
y =(a[2][1]+a[2][2]i)x^2 + (a[1][1]+a[1][2]i)x + a[0][1]+a[0][2]i
グラフで表すことができるのでしょうか？

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ベストアンサー
Amy☆さん

2010/9/16 18:09

はーいo(^-^)o

複素関数は、2次元から2次元への写像ですねo(^-^)oもちろん、4次元にして扱うこともできなくはないでしょうけど、図示がきわめて難しいです(^^; そこで、変換前、変換後のグラフを書く2つの平面を用意することが普通ですo(^-^)o
まず、「z平面」っていって、変換前の複素数を
z=x+i*y

で表して図示します(実軸がx軸,虚軸がy軸)。そして複素関数
w=f(z)
による変換の結果をw平面に図示します。
w=u+i*v
実軸がu軸, 虚軸がv軸です。

2つの平面に分ける理由は4次元が図示しにくいことに留まりません(^^;
複素指数関数、複素対数関数、複素三角関数や、果ては実数なら単純なただのn乗根さえも、多対1や1対多の写像が当たり前のようにでてきます。また、z平面上のただの直線も、単純な複素関数により、w平面上で、円はまだマシで、放物線、双曲線、楕円などの2次曲線に変換されたりします(^^;(^^;(^^;なので、2面に分けても扱いはけっこう大変です(^0^)なので、もし変換前後を一つの図で扱おうなんてすると、確実に意味不明になることでしょう(^^;

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