とはずがたり数理解析研究所講究録

92：とはずがたり：2023/04/29(土) 20:12:54: 5次方程式が解けない理由をなんとなく理解するのだ　VOICEVOX:ずんだもん
https://www.youtube.com/watch?v=IeCvAKyizLw
ニカ

５次方程式が解けないことの直感的説明
https://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html

「解の公式が存在する」ということは、方程式の係数に対して、加減乗除とベキ根（n乗根、ただしnは素数と考えてよい）を有限回作用させることでそれぞれの解が書き表せるということだ。
例えば、3次方程式

x3 + ax2 + bx + c = 0

を考えてみよう。3個の解を x1, x2, x3 とすると、解と係数の関係から、

-a = x1 + x2 + x3　　　(1)
b = x1x2 + x2x3 + x3x1　　　(1')
-c = x1x2x3　　　(1")

が成立する。方程式にとっては3個の解に「個性」はないから、どれが x1 でどれが x2 でどれが x3 でも構わない。従って、x1, x2, x3 の値をどのように入れ替えても（置換しても）、(1)~(1")の式は成立する。3つの元に対して、可能な置換は 3! = 6通りある。このように、どう置換しても値が変わらない式を対称式という。
3個の解は互いに何の関係もない独立したものなのに、方程式の中では、3個の解は分かちがたく結びついた形で表現されているのだ。
これを「x1 =（a, b, c の式）」の形として表すためには、この3個の解の間の結びつきをほぐさなければならない。
対称式同士でいくら加減乗除を行っても、つまり、方程式の係数 a, b, c を加減乗除を使ってどうこねくり回しても、対称式しか出てこない。対称式のもつ対称性を分解するためには、ベキ根の助けが必要になってくる。
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2次方程式 x2 + ax + b = 0 の解の公式は、

である。この2次方程式の解を x1, x2 とすると、根号の中身は
a2 ? 4b = (x1 + x2)2 ? 4x1x2 = (x1 - x2)2　　　(2)

となる。(2)は、x1 と x2 の入れ替え（置換）に対して不変である。
ところが、平方根をとると、y1 = x1 ? x2 と y2 = x2 ? x1 という2つの値が出てくる。これらの値は、次のような性質をもっている：

y2 は y1 の x1 と x2 を置換したものになっている
y2 は y1 に、1の平方根（のうち、1でないもの）を掛けた値になっている（つまり、y2 = -y1）
そのため、x1 ? x2 は x1 と x2 の置換によって値が変わるのに、2乗すると対称式になるのだ。

…

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