at the weekendはweekendをあくまで点として意識していると思います。
その時、何々をしていたってやつですね。時間的な幅の意識はものすごく狭いと思います。
その時点での活動にフォーカスが当たるような気もします。
on the weekendは何か流れとして感じる活動にonしているようなイメージ。
on a picnicとかon a tripなどと同じでしょうか。
そこにはある程度の時間的な幅を感じます。
何かイロイロ活動がなされているような印象を受けます。
Papa is at a picnic.
Papa is on a picnic.
訳による意味はほぼ同じですよねぇ。ですが意識がやはり違うでしょう。
時点での活動にフォーカスか、ピクニック、
その流れとして感じる活動にonして活動中なのかだと思います。
at the weekendのtheは共通イメージのtheだと思います。
みんなが思い描くweekend。あ、そーゆーもの！という感覚だと思います。
週末って言ったら皆さん思い描くことができる共通イメージが
あると思うんですけどね。
だから1つに決まるのだと思います。
一般論の the week が前提になっているのではないかと思います。 day, week, month, year, ... という期間のうち、ひとつに決まる the week という期間に関する一般的な習慣の話。 the week のひとつに決まる端だから the weekend。 the weekend は端点（the end は点）という意識から at。
米国で at the weekend でなく on the weekend となるのは、110さん>>2の「活動」に加えて、 on Monday, on Tuesday, ... という on the weekdays の流れで the weekend も端点ではなく the day(s) at the end of the week と意識され、おそらく on (a) holiday(s) にも強く影響されて、定着したからではないかと推測します。
「敢えて無理やり日本語訳に差をつけたら」、「on the weekend」は「（土曜日と）日曜日に（〜をしようという活動の流れの『上』で）は」、「at the weekend」は「１週間という期間の終わり（『点』）には」という感じになるかと思います。「on the weekend」は通常の週休日の予定を考える感覚、「at the weekend」は英国（や欧州）では普通の月曜日から始まり日曜日に終わるカレンダーの週末を見ている感覚と言い替えてもよいと思います。米国（や日本）では普通の日曜日から始まり土曜日にに終わるカレンダーでは週末が土日ではないので週休日を意識して「on the weekend」と言うようになった、とまで言うと穿ち過ぎかもしれません。週休日には何か楽しいことをしようと考える米国人、週末には公園で寝そべるだけの英国人、というステレオタイプな見方もご参考になるかもしれません。
「「the」のひとつに決まるという方ですがこれは週末は一週間に何回もあるわけじゃないのでひとつに決まるということでいい」と思います。１週間の通常の予定を話題にしているわけですね。１箇月の通常の予定を話題にするなら、「on the last day of the month」と「at the end of the month」になるでしょう。「活動の流れの『上』」と「期間の終『点』」の違いは１箇月でも変わらないと思います。
