解けなかった問題を整理するスレ - 1161965042

1： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:04:02: すみません。新スレを立てさせてください。。
ええとこのスレの趣旨は，僕が中学～高校時代に
2chとミルクカフェで見つけた問題のうち，解けなかった
というか放置してしまった問題をうｐして誰かに解いて
いただこうというスレです。中2～高3の5年間に記録した
問題のコピペです。
2： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:07:23: 問1

係数がそれぞれ集合{1,2,3,～,9}の異なる要素であるような５次の多項式のうち、
x^2-x+1で割り切れるものの総数を求めよ
3： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:08:45: 問2

xy平面に曲線C y=x^2があり、C上の点Pの座標を(a,a^2)とする。ただし、a＜0とする。
このとき、
「Pを中心とする円で、x＞0の範囲において曲線Cとちょうど2つの異なる共有点をもつ円」…(*)
が存在するようなaの値の範囲を求めよ。
さらに、円(*)がちょうど1つ存在するようなaの値を求めよ。
4： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:10:09: 問3

Q[1](x)=1+x、Q[2](x)=1+2xでm>=1のとき

　　　Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)
　　　Q[2m+2](x)=Q[2m+1](x)+(m+1)xQ[2m](x)

と多項式の列Q[n](x)を定義する。そしてx[n]をQ[n](x)=0の最大の実数解
とする。{x[n]}は増加数列であり、lim[n->∞]x[n]=0であることを示せ。
5： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:10:38: 問4

a,bは実数。
(3^a)+(13^b)=17^a
(5^a)+(7^b)=11^b
a<bを示せ。
6： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:11:05: 問5

赤球、青球、黄球がそれぞれｎ個計3n個ある。同じ色の球は区別しない。
これらの球を箱に1個ずつ入れる試行を常に赤球≧青球≧黄球をみたしながら
全ての球を箱に入れきる場合の数C(n)何通りか。
7： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:12:40: 問6

正の数 a,b,c が、ab+bc+ca+abc=4 をみたすとき
a+b+c ≧ ab+bc+ca を証明せよ。
8： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:13:33: 問7

n＝0, 1, 2,・・・に対して、Zn＝(Xn, Yn) は整数を座標とする点の上を
動くとし、ZnからZn+1への移動は毎回、1, 2, 3, 4 の番号札の入っている
箱から1つをとり、1ならば上へ、2ならば下に、3ならば左へ、4ならば右へ
1の長さを動くとする。出発は原点。
1) S＝√(X3^2＋Y3^2) とする時、Sの期待値E(S)を求めよ。
2) Tn＝Xn^2＋Yn^2 とする時、Tnの期待値E(Tn)がnであることを示せ。
9： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:14:27: 問8

方程式 x^3-kx+1 = 0　・・・(a)　を考える。
(1)　方程式(a)の持つ解の個数を求めよ。
(2)　方程式(a)はkが十分大きいとき異なる３つの解を持つ。その解を小さい方からα(1)、
　　　α(2)、α(3)とおく。このとき、n=1,2,3に対して極限
　　　lim[k→∞] α(n)/x^t　
　　　が０でない定数に収束するように実数tの値を定めよ。
10： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:15:26: 問9

複素数平面上で
ω=(1/2){z+(1/z)}によって
|z-(5/12)i|=13/12　
はどのような曲線にうつるのか
11： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:16:20: 問10

半直線OX, OYは為す角がθ(∈(0,π/2])で、OX上に動点A, OY上に動点Bがある。
AB=1 を満たすようにAとBを動かすとき、
線分ABの通過する領域の面積 S(θ) の最大値とそれを与えるθを求めよ。
12： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:18:20: 問11

数列{a(n)}を次のように定める．
a(1)=3，a(2)=5，a(3)=7
{a(n-3)}*{a(n)}={a(n-1)}^2-{a(n-2)}^2 (n≧4)
このとき，任意の自然数に対して，|a(n)|＜14/√3 であることを示せ．

これはなんかヒントのようなカキコがあったのでそれをコピペしときます。

3.5.7という数字なので内角の1つが120°の三角形が活躍する予感がしますね。
トレミーの定理でウホウホやるのかな?
文字式の乱立で押しきるのであれば
{B(n)}{C(n)}をC(1)=3,C(2)=5,B(1)=13.B(2)=11
C(n)=(C(n-2)B(n-1)＋C(n-1)B(n-2))/14
B(n)=(B(n-2)B(n-1)-3C(n-2)C(n-1))/14 (但 n=3.4...)
と定義して
・3C(n)^2＋B(n)^2=14^2　(帰納法で示す)
・C(n-3)=(C(n-1)B(n-2)-B(n-1)C(n-2))/14 (右辺を変形して↑を使う)
を示した上で「∀n: A(n)=C(n)」を示してみれば (上で示した2つを用いる)
|C(n)|≦14/√3が言えるので不等号だけチェックすれば行けるはず。
13： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:23:15: 問12

Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃは平面の点でＯＡ＝４, ＯＢ＝２√３, ＯＣ＝√２２。
このとき、三角形ＡＢＣの面積の最大値を求めよ。

この問題を解く際に分からないことは「固定して動かす」という行為が
独立的じゃないところです。
14： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:29:13: 問13

abc=a^2+b^2+c^2を満たす正整数の組をすべて求めよ。
15： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:30:58: 問14

kを3以上の定数とする。

実数a,b,cが
　a+b+c=k , a≧1,b≧1,c≧1
を満たすとき、
(a/b) + (b/c) + (c/a) のとり得る値の範囲を求めよ。
16： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:33:29: 問15

p≧3を素数とし、n≧2とする。このとき
{(2p+2)^m 　－1}/p^n　が整数となるような最小のmの値を求めよ。
17： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:40:16: 問16

３辺の長さが１，ａ，ｂの三角形の各頂点から対辺に引いた垂線の長さの最小値を
ｍとする。ａ，ｂがａ+２ｂ＝２をみたしながら変化するとき、ｍが最大となる
ａ，ｂの値を求めよ。
18： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:42:44: 問17

��[0≦n≦∞] {sin(nθ)}/(n!) = sin(sinθ)e^(cosθ) を証明せよ
19： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:45:16: 問18

a,b,cを正の実数として、abc=1を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) +(b^2+c^2)a/(b^3+c^3)+(c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ
20： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:47:52: 問19

ｍ,ｎを自然数とするとき、
f(x)(x-a)^m + g(x)(x-b)^n = 1
(ただし、a≠b)
を満たす、f(x)、g(x)を求めよ。
21： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:55:53: まだあるけど，とりあえずもう疲れたのでここらへんで。

しかし自分で言うのもなんだけど，５年弱もよく飽きずに
数学の問題を集めたり解いていたもんだな・・。

新しいパソコンに変えるため，中高時代の勉強データは捨てちゃうので
この掲示板をお借りして保存させていただきました。公開しておいたほうが
受験生の人にとっても役立つと思うので・・。あんまり受験的な問題じゃない
けど・・。
22：Je n'ai pas de nom!：2006/10/28(土) 08:20:09: >>◆ZFABCDEYl

それ「こけの部屋」に載ってないの？