『解析概論』輪読

96：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/11(日) 05:47:21: >>94の命題と>>95の命題によりlim{P→A}f(P)=lであることと,
任意のAに収束する点列{P_n}に対してlim{n→∞}f(P_n)=lであることが,
同値であることが示された.
要するに連続的変数に関する極限を,数列の極限に帰着する術を得たわけである.

よって連続的変数に関してもCauchyの判定法は考えることができるし上極限,
下極限も定義できる.即ち>>36の定理によって函数f(P)に対して
lim{P→A}f(P)が存在するための必要十分条件は,任意の正数εに対して,
ある正数δが存在して,AP<δ,AQ<δならば|f(P)-f(Q)|<εである.
またlimsup_{P→A}f(P)=lim{t→0}\sup_{0<AP<t}f(P),
liminf_{P→A}f(P)=lim{t→0}\inf_{0<AP<t}f(P)と定義すればよい.
limsup_{P→A}f(P)=liminf_{P→A}f(P)=lであるならlim{P→A}f(P)=lである.

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