『解析概論』輪読

53：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:48:18: 命題
AがSに関する集積点ならば,Aに収束するSの点列が取れる.
とくにSが数の集合でaがその上限や下限であるならであるならaに収束する数列{a_n}で,
すべてのnでa_n∈Sなるものがとれる.

証明
AP_n<1/nなるSの点P_nをとれば
P_n∈S,lim[n→∞]P_n=A.
aがSの上限ならa>bなる任意のbに対して,a≧x>bなるSの元xがいくらでも取れるので,
aはSに関する集積点である.下限についても同様.■

命題
有界な点列からは収束する部分列が取れる.

証明
{P_n}を有界な点列とし,S={P_n;n∈N}とする.
Sが有限集合なら,{P_n}は同じ項を無数に含むので,
その同じ項だけを集めた部分列{P_{n_k}}は収束する.
Sが無限集合なら定理>>6よりSは集積点Aを持つ.
よってAP_{n_k}<1/kなるSの点P_{n_k}が取れ,lim{k\to∈fty}P_{n_k}=A.■

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