「集合・位相入門」輪読会★2

293：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/03(金) 19:07:55: おお何やら難しい話が・・・後で読んでみます。

p126
第3章　Zornの補題
§5　Zornの補題の応用
A)　濃度に関する二三の定理
本項ではZornの補題を用いて、濃度に関するいくつかの命題を証明する。
これは本書の主題の一つである'集合論'に直接関係するものである。
【定理11】
Mをひとつの無限の濃度とし、nをn≦mであるような任意の濃度とする。そのとき
　　　(5.1)　m+n=m
が成り立つ。

【証明】
[命題1]　2m=mを示せば十分。
　∵m≦m+n≦m+m=2mだから、2m=mが示されていればベルンシュタインの定理
(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/748定理2)よりm+n=m。

そこでこれを示そう。
[準備1]　文字設定
AをcardA=mとなるような1つの集合とし、I={0,1}とする。
Aの部分集合Bと、I×BからBへの写像fに関する次の条件(*)を考える。
　　　(*)fはI×BからBへの全単射
そして条件(*)を満足する組(B,f)全体の集合をΜとする：Μ=｛(B,f)∈2^A×B^(I×B)｜fは全単射｝。
また叙述を明確にするため、組(B,f)を一般にPのような文字で表し、P=(B,f)であるときB=B_P,f=f_Pと書くことにする。

[命題2]　Μ≠φ
　∵mが無限の濃度という仮定からAは無限集合で、その部分集合Bとして可算集合B_0を取ることができる
(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/769定理4)。
2cardN=cardN(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/841(3.16))だから、
I×B_0からB_0への全単射f_0が存在する。そこで(B_0,f_0)∈ΜだからΜは空でない。

[準備2]　Μ上の順序
P,Q∈Μに対し、B_P⊂B_Q(したがってI×B_P⊂I×B_Q)で、写像f_Qが写像f_Pの拡大になっているとき
(すなわちI×B_P上でf_Qがf_Pと一致するとき)、P≦Qと定めることでΜ上に順序を導入する：P≦Q⇔B_P⊂B_Qかつf_P=f_Q｜I×B_P

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）