【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

341：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/15(日) 15:36:22 ID:wo9.uUsU: ちなみに
√10>π
を
∞
Σ1/n^2=π/6
n=1
を使って証明させる問題は調べたら出てきたやつなんでオリジナルではないのですが、すごかったです（小学生並みの感想）
当然数3は使います
342：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/19(木) 21:15:14 ID:X.fR66a2: 数2Bな範囲で問題出したいです
ホモの高校生はウマ娘や競馬が流行っていても手を出せないので、あの気分をもう一度味わってみたかったんです
競馬を題材にした問題はまだ出せそうですね

10頭で行われる競馬のレースが存在し、10頭それぞれに対応する券が販売されている
券に対応する馬がレースに勝利すると、正の実数×購入枚数が購入者に支払われる
このとき、Aさんがすべての馬の券を1枚ずつ購入したとき、かならず損をする（購入代金以上の金銭を得ることがない）ための必要十分条件を求めよ
ただし、Aさんが券を1枚だけ買ったときは得をする（購入代金以上の金銭を得る）場合が必ず存在するとする
343：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/11(土) 01:49:22 ID:FWZcnyTw: 東大で三角関数の加法定理の証明が出題されたり>>337の問題があったり、点と直線の距離の証明の問題もあったりしますが
ほかに数2Bまでの有名な事実で証明を出題されると難しい問題ってあるんですかね？
344：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 08:37:15 ID:09H1N0QQ: >>342
i番目の馬が勝った時の単勝馬券の払戻額をb_i、馬券1枚の購入費用をcとおくと、１枚づつすべて購入したとき必ず（確率１で）損をするのは、すべてのi=1,...,10についてb_i<10cのとき。
…と条件を記述できる思うんですが、これじゃ単純に定義しただけですかね？条件を変形するともっと直観的に意味のある条件になるんですかね？
上の条件は競馬用語だと「全ての馬が単勝10倍未満」と解釈できると思いますが
345：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 09:30:54 ID:mr5qlOBE: >>344
条件によりレースに勝利する馬は1頭以上存在しますが
逆に条件に「必ず1頭の馬だけが勝利する」とは書かれていないので、一位同着の馬が複数存在することを考えなければいけません
たとえば1≦i<j≦10のとき、iとjに割り当てられた馬が勝利するなら、払戻金はc(b_i+b_j)となり、これは>>344の条件だけだと10cを超えてしまうかもしれません
すべての馬が同着で勝利するときの払戻金は
10
Σb_k<10c
k=1
（ただしb_i>c（iは1≦i≦10の整数）となるようなものが1つ以上必ず存在する）
となればよさそうです
これは各馬の勝率によらないので用意していた答えでした

大昔に存在した引っ掛けなぞなぞを出題する小○生みたいでした。
注意深く考えたつもりですがこれでも不十分かもしれません
たぶんこれを競馬っぽく書く方法はないんじゃないですかね…（実際の競馬は同着になった場合の単勝払い戻しは単純な足し算にはならない）
346：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 01:50:28 ID:pDR/b/Mk: YouTubeであまり再生されてないけど面白い問題を見たので、その動画を見てないホモは考えてみてください
中学生のホモでもわかるようになっています

任意の三角形ABCについて下の図のように定める
https://i.imgur.com/9P4zwsM.jpg（垂線「の足」を書き忘れてます）
このとき
△ADPと△AFPが合同なので
DP=FP…①
AD=AF…②
△PBEと△PCEも合同なので
BP=PC…③
①、③、∠BDP=∠CFP=90°より△BDPと△CFPも合同であるから
DB=FC…④
②、④より
AD+DB=AF＋FC
よってAB＝ACとなり、すべての三角形は二等辺三角形であることが示された

このすべての三角形が二等辺三角形であるという明らかに誤っているのにもっともらしい証明のどこが間違っているかを示してください
347：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 18:50:37 ID:WGFGq6s2: 「△BDPと△CFPも合同」の部分ですね。
①、③から合同を示すなら角BPDと角CPFが等しくなきゃいけない。
348：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 20:59:23 ID:1tdGLz7E: 例えばAB>ACだとAの二等分線は辺BCの中点よりC寄りを通るはずで、交点Pは三角形ABCの外部にくるはず
Pが三角形の内部にある前提で証明を進めているのが間違いですかね？
349：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 21:33:36 ID:pDR/b/Mk: >>347
2つの辺が同じ長さの直角三角形は三平方の定理より合同っすね…

>>348
かなり近いのですが、一般的に言えるのかという部分と
外にあるとどう証明に不備が生じるのかが問題っすね

やっぱりペイントで図を書いたのでガバガバさが太いと思います
350：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/22(水) 00:18:42 ID:RpCw.bpI: >>349 ああ恥ずかしい、やだこんな恥ずかしい･･･(347記入者)
FとDが片方BCより上、片方BCより下になることを示せば良さそうですね。
351：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/07/02(土) 15:42:49 ID:lRuVWHt.: いまさらながら答えなのですが、
角の二等分線の定理からBCはAB:BCに分けられ、この点とAを結ぶ直線はBCの中点の上を通ることはありえないので（中点を通るのなら二等辺三角形）
Pは三角形の外になる
ここから両辺に垂線を降ろすと片方の足はかならずAB,ACどちらかの延長線上にあるので
AD+DB=AB,AF+FC=ACはどちらか片方しか成り立たず、ABの外にDがあるようならAD-DB=ABとなる（両方成立するなら二等辺三角形）
よって、AD+DB=AF+FCまではどんな三角形でも正しいけれど、最後のよってAB=ACだけが正しくない

でした。図というものはたいがい適当に書くものですが、それにトリックがあるという場合もあるということですね
352：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/08/01(月) 07:52:26 ID:dFWmPzfI: NaNじぇい大学入試問題作れそうですねこれ
353：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/09/25(日) 16:15:27 ID:gi.rEGjY: >>314について四角形OAPBの個数を調べる議論がちょっと楽しそうだったので、
(3)Pを中心とする円Cがx^2+y^2=1と接するとき、円Cが通過する領域の面積
とかほかに類題あるかなって考えてたんですけど
そもそも>>317がよくわからなくて四角形OAPBの対角線って常に直交してるんですかね？
354：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 04:11:13 ID:Lc4HL3SY: 多項式
x^4+6x^2+2
が実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能である場合は因数分解せよ。

京大の院試の過去問解説を聞いていたらここが通過点だったのですが、これだけなら数IIBの範囲でできるなと思ったので初出題です。
このスレにある証明をアンカーで引用すれば楽になる部分もあるので、年末年始に暇なホモや追い込みたい受験生のホモも頑張ってみてください
355：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 15:47:01 ID:oeW3I4Ns: 無理矢理平方完成して、
(与式)
=(x^2+3)^2-7
=(x^2+3+√7)(x^2+3-√7)

なんですかね？これ以上いけるのかとかは分からないです
356：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 16:24:43 ID:MVmSVZpY: 久々にスレ上がってますね
やりますよーやるやる
357：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 17:27:30 ID:dJXcAdqs: x^2≧0だから(x-a)(x^3+bx^2+cx+d)の形には分解できない
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)の形に分解できると仮定すると係数比較して ①a+c=0 ②b+d+ac=6 ③ad+bc=0 ④bd=2が成立
①③よりa(d-b)=0だがa=c=0は不適、b=dも④が成立せず不適
よって実数係数では因数分解できない　でいいんでしかね？
358：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 19:13:13 ID:Lc4HL3SY: あ、これ

多項式x^4-6x^2+6が
(1)有理数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。
(2)実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。

のほうがよかったですね…
どちらにせよ>>355と>>357はどちらも正解です。（>>355の議論はもちろん不十分ですが）
途中式にあった多項式をそのまんま引っ張ってきてはいけない（戒め）
359：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/02(月) 01:11:40 ID:f.IFIn4A: 調べたらアイゼンシュタイン多項式の既約の証明って数2Bレベルでできるのでそれこそ京大くんが入試で出したことあるらしいですね
んだよこのクソ捨て問（ﾍﾟｼｯ
360：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 20:17:15 ID:jc3hrWCE: あー年始だから2023にちなんだ問題を作りたかったけど何も思いつかない
√2023m を有理数にする最小の整数mは？とかくらいしか
361：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 21:53:14 ID:AGkZ1ibI: 17^2*7なのはいかにも悪用できそうっすね
ただ9^2*10=810でもここのホモがなかなか問題を思いつくのが難しいんで毎年そういうのを考えている大学入試作る人は大変だなと思いました

(1)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が5番目にくる自然数のうち最小のものをもとめよ
(2)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が6番目にくる自然数をすべてもとめよ
362：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 23:48:50 ID:jc3hrWCE: (1)なんですが
2023=7*17*17を約数に持つということは
1、7、17、7*17、17*17が約数にあるはずなので2023が絶対5番目に来れない…来れなくない？
間違っていたらごめんなさい…
363：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:02:32 ID:lMXJpVws: >>362
(1)は解なしですね。
勝手な改題ですけど (1)を2023が6番目 (2)を2023が7番目かつ、2023以上の素数を約数に含まないの条件が良い気がしてます
364：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:38:05 ID:j/kiwFC6: >>363
題意その通りというか、それどころか
(1)7番目で最小(2)8番目で最小
でした。申し訳ナス！
365：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:51:10 ID:j/kiwFC6: ちゃんと記述して再出題です。

(1)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が7番目になる自然数nで最小のnを求めよ
(2)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が8番目になり、かつn<4*10^6である自然数nをすべて求めよ
366：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 01:20:55 ID:lMXJpVws: >>365
(1)最小のn=2023*p (pは素数) となるのでP=7,17,それ以外で場合分け
P=7と仮定すると2023以下の約数は3*3-1=8→不適
p=17と仮定すると2023以下の約数は4*2-2=6→不適
p≠7,17のとき、2023/7 (=289)より大きい最小の素数293がpとして適する
最小のn=2023*293=592739
367：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:10:15 ID:lMXJpVws: >>365
p,qを素数かつp≦qとし、n=2023*pまたはn=2023*p*qを満たすp,qを考える
このときn<4*10^6よりそれぞれp<2000、p*q<2000を満たす。

n=2023*pのとき
p=7は適する
p=17は不適
p≠7,17を考えると、
2023/17 (=119)<p<2023/7 (=289)より、p=127~283の素数31個

n=2023*p*qのとき
p*q<2000よりq<45となり、p,q,7p,7q,17p,17qも2023未満の約数
このときp,qいずれかが7,17以外だとこれらの最低3つは2023の約数でなくなるので不適
(p,q)=(7,7)→適する
(p,q)=(7,17)→適する
(p,q)=(17,17)→不適

以上より求めるnは2023に7,49,119,127~283の素数31個のいずれかをかけたもの
368：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:20:15 ID:lMXJpVws: >>367
n=2023*p*q*rの場合を忘れてた
(p,q,r)=(7,7,7)(7,7,17)(7,17,17)も適するので
nに2023にこのpqrをかけた3数を追加
369：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:53:42 ID:j/kiwFC6: >>366-367
49だけは
1,7,17,7^2,7*17,7^3,17^2,7^2*17,2023
となってしまうのて適しませんが、そこをのぞけばすべて正解です！
というか問題を考えたときにそこ(7と7*17)ばかりパズル的に考えていて、7p(pは119<p<289をみたす素数)の存在を失念してました…nを合成数にしておけばよかった

2023はほかに常用対数とかもありえそうっすね
370：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:57:06 ID:j/kiwFC6: >>368
nが7^3を含むと上より適さないので、不正解です…
2023^2は2000^2よりデカいっすね
長時間お付き合いいただき感謝しかないです
371：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 11:35:40 ID:lMXJpVws: >>369-371
あっそっかぁ49*17と7*17*17=2023を忘れてるし俺の解答ガバガバじゃねぇかよ
解答は2023＊(7or7*17or p (pは119<p<289をみたす素数))ですね
素数表とセットで普通に入試に出題されそうな問題で面白かったゾ～
372：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/11(水) 10:44:26 ID:7OA/ZL5.: 国土地理院くんがなんか出してたので置いておきます
https://twitter.com/gsi_chiriin/status/1612648038501343232
373：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/11(水) 21:30:06 ID:cm2uFaxU: 放物線って、「数をその二乗に従って処理する」と「ある点とある線からの距離が等しい」の
どちらの性質から先に生まれたんでしょうかね？
上の問題見てふと思いました
374：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/15(日) 00:17:10 ID:kuvmgwew: 放物線って言うくらいだから物を放り投げたときの軌道が始まりで、そこから自然に出てくるのは2次関数じゃない？知らんけど