今日の献立

372：のろうゐるす：2013/08/13(火) 08:31:29: 正規作用素 T が与えられたとき、いつ
{ T^k T^{*l} : k,l ≧ 0 } が線形独立となる(*)
かを調べてみた。
(0) 問題はスペクトラム σ(T) にのみ依存。
(1) ￢(*)なら、dim span{ T^k T^{*l} : 0 ≦ k,l < n } は n に関して１次の増大度。
∵　非自明な一次関係式をひとつ固定して、ゼロでない項のうち辞書式順序で
　　一番大きいものを(K,L)とすると、上の線形空間は(K,L)を角とする L 字型
　　の部分を考えれば十分である。
(2) σ(T) が直線あるいは円周ならば、￢(*)。
(3) pがzと\bar{z}の多項式のとき、Tが￢(*)ならp(T)も￢(*)。
　　逆に、pがzの多項式のとき、p(T)が￢(*)ならTも￢(*)。
(4) T_i たちが￢(*)なら、T_1 \oplus \cdots T_n も￢(*)。
∵2-4　次元増大度が１次。

纏めると： σ(T)が直線、円周、その多項式の像、正則多項式の逆像、それらの有限和
に含まれるとき、￢(*)。一方で (*) の十分条件は、

(a) σ(T)が次の条件を満たすなら、Tは(*)を満たす。
　　任意の N に対して、半径の異なるN個の同心円周C_1,...,C_Nが存在して、
　　|σ(T) ∩ C_i | ≧ N for every i を満たす。
∵　線形関係式の添え字を適当に整理してVandermondeを２回使う。
(b) σ(T)がLebesgue測度正なら、Tは(*)を満たす。
∵　Lebesgue density theoremより、(a)が適用可。

ふむう。(*)をきれいな条件で特徴付けるのは無理と見た。

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