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『解析概論』輪読

92：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/11(日) 05:43:39
例　連続的変数xに対してlim{x→∞}(1+1/x)^x=e.

証明　n≦x<n+1なる自然数nに対して,
{(1+1/(n+1))^{n+1}/(1+1/(n+1))}=(1+1/(n+1))^n
<(1+1/x)^n<(1+1/x)^x<(1+1/x)^{n+1}<(1+1/n)^{n+1}
=(1+1/n)^n*(1+1/n).
>>31の例５より
lim{n→∞}(1+1/n)^n=e,また>>18の定理5(4)より
lim{n→∞}{(1+1/(n+1))^{n+1}/(1+1/(n+1))}=e.
よって任意の正数εに対してある自然数Nが存在してn≧Nなら
e-ε<{(1+1/(n+1))^{n+1}\over(1+1/(n+1))}<(1+1/x)^x<(1+1/n)^n<e+ε.
したがってlim{x→∞}(1+1/x)^x=e.■
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