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『解析概論』輪読

18：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:43:27
命題

a_n→αのとき全ての自然数nに対してa_n≦MとなるMが存在するときα≦M.

証明

α>Mと仮定するとα-a_n≧α-M(>0)となるので先ほどと同様の矛盾が起こる。
ゆえにα<M.

数列の極限について次の性質が成り立ちます。

定理5.

{a_n}, {b_n}が収束し、lim_[n→∞]a_n=α, lim_[n→∞]b_n=βとする。
このとき次が成り立つ。
(1) lim_[n→∞](a_n+b_n)=α+β.
(2) lim_[n→∞](a_n-b_n)=α-β.
(3) lim_[n→∞]a_nb_n=αβ.
(4) b_n≠0かつβ≠0のときlim_[n→∞]a_n/b_n=α/β.
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