『解析概論』輪読 - 1122386530

『解析概論』輪読

77：たま ◆U4RT2HgTis：2005/09/10(土) 01:41:06: >>45と>>46の行間埋め。

α=ψ(α)+2πφ(α)
∴nα=nψ(α)+2πnφ(α)
ここで、x=nψ(α)とすれば、nψ(α)=ψ(nψ(α))+2πφ(nψ(α))
∴nα=ψ(nψ(α))+2π{nφ(α)+φ(nψ(α))}
0≦ψ(nψ(α))＜2π,nφ(α)+φ(nψ(α))∈Nなので
ψ(nα)=ψ(nψ(α))

nψ(α)=2πとなる自然数nは存在しない。
もし、存在したとすると
nα-2πnφ(α)=2πより
nα=2π(nφ(α)+1)となり、任意の自然数nに対してnαがπの無理数倍であることに矛盾。

2π<nψ(α)となる最小のnをn_1とする.
nψ(α)=2πとなる自然数nは存在しないことより(n_1-1)ψ(α)＜2π＜n_1ψ(α)＜4π.
∴ψ(α)=n_1ψ(α)-(n_1-1)ψ(α)＞n_1ψ(α)-2π=ψ(n_1ψ(α))=ψ(n_1α)
∴ψ(n_1α)＜ψ(α)

＞2π<nψ(n_1α)となる最小のnをn_2とすると0<ψ(n_2α)<ψ(n_1α),
0<ψ(n_1n_2α)＜ψ(n_1α)となるので、改めてn_1n_2をn_2と置きなおす。
じゃないですか？

＞(d-1)lim[k→∞]ψ(n_kα)≦2π<dlim[k→∞]ψ(n_kα)なる自然数dが存在する
＞このとき0<ψ(dlim[k→∞]ψ(n_kα))<lim[k→∞]ψ(n_kα)であるが,
lim[k→∞]ψ(n_kα)≦ψ(n_lα)<lim[k→∞]ψ(n_kα)+{(lim[k→∞]ψ(n_kα)-ψ(d*lim[k→∞]ψ(n_kα)))/d}
＞なる自然数lがとれるので
ここはイコールがいりますね。
(d-1)lim[k→∞]ψ(n_kα)≦2π<dlim[k→∞]ψ(n_kα)なる自然数dが存在するから直ちにいえるのは
0<ψ(dlim[k→∞]ψ(n_kα))≦lim[k→∞]ψ(n_kα)です。
でも、このままだと次の論証がとちくるっちゃうんで、イコールをはずさないといけない。

もし、∃i∈Nに関してi*lim[k→∞]ψ(n_kα)=2πが成り立ったとすると、
lim[k→∞]ψ(n_kα)=2π/i
∀ε>0に対して、∃m_0∈Nをとれば、m_0<kなる任意のkにおいて0≦ψ(kα)-2π/i＜ε
∴0≦i*ψ(α)-2π＜i*ε
n_(k+1)の定め方より、
∴0≦ψ(n_(k+1))≦i*ψ(n_kα)-2π＜i*ε
従って、m_0+1以上の任意のkに対して|ψ(n_k)|＜i*ε
iはεによらない定数なので、lim[k→∞]ψ(n_k)=0となり矛盾.
ゆえに、任意の自然数nについてi*lim[k→∞]ψ(n_kα)≠2πが成り立つ。

よって、(d-1)lim[k→∞]ψ(n_kα)<2π<dlim[k→∞]ψ(n_kα)なる自然数dが存在する。
このとき0<ψ(dlim[k→∞]ψ(n_kα))<lim[k→∞]ψ(n_kα)であるが,
lim[k→∞]ψ(n_kα)≦ψ(n_lα)<lim[k→∞]ψ(n_kα)+{(lim[k→∞]ψ(n_kα)-ψ(d*lim[k→∞]ψ(n_kα)))/d}なる自然数lがとれるので

って感じですね。

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