『解析概論』輪読

46：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:43:57: 0<lim[k→∞]ψ(n_kα)であるとすると,
(d-1)lim[k→∞]ψ(n_kα)≦2π<dlim[k→∞]ψ(n_kα)なる自然数dが存在する.
このとき0<ψ(dlim[k→∞]ψ(n_kα))<lim[k→∞]ψ(n_kα)であるが,
lim[k→∞]ψ(n_kα)≦ψ(n_lα)<lim[k→∞]ψ(n_kα)+{(lim[k→∞]ψ(n_kα)-ψ(d*lim[k→∞]ψ(n_kα)))/d}
なる自然数lがとれるので
2π<d*lim[k→∞]ψ(n_kα)≦dψ(n_lα)<(d+1)lim[k→∞]ψ(n_kα)-ψ(d*lim[k→∞]ψ(n_kα))
=lim[k→∞]ψ(n_kα)+2π,
即ちψ(n_{l+1}α)<lim[k→∞]ψ(n_kα).これは不合理.よってlim[k→∞]ψ(n_kα)=0.
したがってlim[k→∞]a_(n_k)=1.すべての自然数nでa_n≦1だから,
{a_n}は1より大きな値に収束する部分列を持たない.よってlimsup[n→∞]a_n=1.
数列{ψ(n_kα)}は0に収束する減少列であるから,任意の正の数εに対して
ある番号以上のkに対して0<ψ(n_kα)<ε.
(p-1)ε≦π<pεとなる自然数pが存在し,
(p-1)ε<qψ(n_kα)=ψ(qn_kα)<pεなる自然数qが存在する.
よってπ-ε<ψ(rα)<π+εを満たす自然数rが無数に存在する.
これは{a_n}が-1に収束する部分列を持つことを示している.
またすべての自然数nで-1≦a_nだから
{a_n}は-1より小さな値に収束する部分列を持たない.よってliminf[n→∞]a_n=-1.■

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