『解析概論』輪読

45：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:43:24: 例　a_n=cos nα(ただしπ/αは無理数.)のときlimsup[n→∞]a_n=+1,liminf[n→∞]a_n=-1.

証明　αはπの無理数倍だから任意の自然数nに対してnαはπの無理数倍.
実数xに対して2πn≦x<2π(n+1)なる整数nがただ1つ存在するが,
このnをφ(x)とし,ψ(x)=x-2πφ(x)とおくと,
任意の実数xに対してcosψ(x)=cos x,0≦ψ(x)<2π.
またψ(nα)=ψ(nψ(α)).
nψ(α)=2πとなる自然数nは存在しない.
2π<nψ(α)となる最小のnをn_1とする.
このとき0<ψ(n_1α)<ψ(α),n_1α/πは無理数.
2π<nψ(n_1α)となる最小のnをn_2とすると0<ψ(n_2α)<ψ(n_1α),
n_2αは無理数.
このようにして下に有界な減少列{ψ(n_kα)}をつくる.定理>>21より
lim[k→∞]ψ(n_kα)は存在し,0≦lim[k→∞]ψ(n_kα).

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