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『解析概論』輪読

38：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:39:02
有界な数列{a_n}に対して{a_k;k∈N,k≧n}の上限,下限をそれぞれl_n,m_nとおくと,
すべての自然数nでm_n≦l_nで,{l_n},{m_n}ともに有界な単調数列であることは,
定理>>36の証明中に述べた.よって定理>>21によってlim[n→∞]l_n=λ,
lim[n→∞]m_n=μが存在する.λ,μをそれぞれ{a_n}の上極限,下極限といい,
limsup[n→∞]a_n,liminf[n→∞]a_nと書く.
{a_n}が有界なら,m_1≦m_2≦…m_n≦…l_n≦l_{n-1}≦…≦l_2≦l_1だから
すべての自然数p,qでm_p≦l_q.
p→∞としてμ≦l_q.
q→∞としてμ≦λ.
{a_n}が収束列であれば,任意の正の数εに対してある番号以上で
lim[n→∞]a_n-ε<a_n<lim[n→∞]a_n+εであるから,
ある番号以上でlim[n→∞]a_n-ε<m_n≦l_n<lim[n→∞]a_n+ε.
よってlim[n→∞]a_n=λ=μ.
逆にλ=μであれば,任意の正の数εに対して,ある番号以上でλ-ε<m_n≦l_n<λ+ε.
そのときλ-ε<a_n<λ+εであるのでlim[n→∞]a_n=λとなる.
即ち有界数列には,上極限とか極限が必ず存在するが,
両者が一致するとき,またそのときに限り,その有界数列は収束するのである.
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