『解析概論』輪読

21：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:46:08: 証明

上に有界な単調増加数列が収束することを証明する。
{a_n}は上に有界だから上限αが存在する。
lim[n→∞]a_n=αを示す。
α´<αなるα´をとるとa_n>α´を満たす自然数nが存在する。その一つをpとおく。
{a_n}は単調増加だから、n>pのときa_n>a_p>α´.
ここでα´は上限（よって上界）であるから全ての自然数nに対してα≧a_n.
よってn>pのときα-a_n<α-α´(>0).
ここでα´はα´<αを満たす任意の実数であるから、α-α´は任意の正数値をとる。
よっていかなる正数α-α´が与えられてもn>pとすれば|α-a_n|<α-α´ことになるからa_n→α.
下に有界な単調減少数列{b_n}についても同様でlim[n→∞]b_n=inf({b_n}).
（ただし集合Aに上限があるならばそれをsup(A)と書き、下限があるならばそれをinf(A)と）書く。）

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