『解析概論』輪読 - 1122386530

『解析概論』輪読

274：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:51:57: h<0なら
　　　　　　　　　　(a^{x+h}-a^x)/h
　　　　　　　　　　=a^x･((a^h-1)/h)
　　　　　　　　　　=a^x･((a^(-(-h))-1)/(-(-h)))
　　　　　　　　　　=-a^x･((1-a^(-h))/(-h))･(1/(a^(-h)))
　　　　　　　　　　=a^x･((a^(-h)-1)/(-h))･(1/a^(-h))
より
　　　　　　　　　　lim[h→0]((a^(x+h)-a^x)/h)
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a･(1/a^(-0))
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a.
以上より
　　　　　　　　　　d(a^x)/dx=a^xlog[e]a.
275：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:52:16: 底aを0<a<1とすると,
　　　　　　　　　　a^x=((1/a))^(-x)
であるので
　　　　　　　　　　d(a^x)/dx
　　　　　　　　　　=-((1/a)^(-x))log[e](1/a)
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a.
特にa=eとすれば
　　　　　　　　　　d(e^x)/dx=e^x.
定理>>264よりa>0,x>0のとき
　　　　　　　　　d(log[a]x)/dx=1/(xlog[e]a),
　　　　　　　　　d(log[e]x)/dx=1/x.
底がeである対数函数はかくのごとく便利がよい.
以下単にlogと書けば底はeであるとする.このeを底とする対数を自然対数といい,
log nat,lnなどと書く.
276：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:52:38: x<0に対して,
　　　　　　　　　D(log(-x))=(-1)/(-x)=1/x
であるのでxが負の場合もこめて
　　　　　　　　　Dlog|x|=1/x.
277：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:52:55: 対数微分法
u,v,wを微分可能なxの函数とするとu≠0,v≠0,w≠0なる点で
　　　　　　　　　Dlog|uvw|=D(log|u|+log|v|+log|w|)=(u'/u)+(v'/v)+(w'/w),
また
　　　　　　　　　Dlog|uvw|=(uvw)'/(uvw).
よって
　　　　　　　　　(uvw)'/(uvw)=(u'/u)+(v'/v)+(w'/w).
同様に
　　　　　　　　　D(log|(u/v)|=((u/v))'/(u/v))=D(log|u|-log|v|)=(u'/u)-(v'/v).
また,
　　　　　　　　　log a^x=xlog a
より
　　　　　　　　　D(log a^x)=D(a^x)/a^x=log a.
これからも
　　　　　　　　　D(log a^x)=a^xlog a
が得られる.
278：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:53:14: 冪函数
x>0のとき,任意の実数aに対して
　　　　　　　　　log x^a=alog x
なので
　　　　　　　　　D(log x^a)=D(x^a)/(x^a)=a/x.
これより一般の指数aに対して
　　　　　　　　　D(x^a)=ax^(a-1)
が得られる.

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