『解析概論』輪読

104：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/10(月) 23:14:40: 開区間(a,b)で定義された函数f(x)においてf(a+0)が有限であるならf(a)=f(a+0)と定めれば,
f(x)を[a,b)で定義された関数に拡張できる.このとき拡張されたf(x)はx=aで右連続である.
先に見たようにf(x)=xsin(1/x)なる関数はx≠0で定義された函数であるがf(0)=0と定めれば,
(-∞,∞)で定義された連続関数に拡張される.このように未定義な点があることによって,
不連続になってしまう函数は適当な補正によって連続函数に拡張されることが多い.
たとえば,f(x)=(x^2-1)/(x-1)はx=1で未定義であるがf(1)=2と定めれば(-∞,∞)で定義された連続函数に拡張できる.
ある区間で定義された函数f(x)が増加であるとすると,定義域内にある点aに対して
f(a-0),f(a+0)は有限確定である.実際,aに収束する増加列{x_n}をひとつとると,
数列{f(x_n)}も増加列であるが,すべての自然数nに対してx_n≦aであるからf(x_n)≦f(a).
即ち{f(x_n)}は有界な単調列であるから,定理>>20によって{lim_{n→∞}}f(x_n)は存在する.
したがって命題>>103によってf(a-0)は有限確定である.このときf(x_n)≦f(a)よりf(a-0)≦f(a).
同様にf(a+0)も有限確定でf(a)≦f(a+0).したがってもしf(a-0)=f(a+0)であるなら
f(a-0)=f(a)=f(a+0)であるからf(x)はx=aで連続となる.
f(a-0)<f(a+0)ならf(x)はx=aで不連続である.

新着レスの表示

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板