『解析概論』輪読

103：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/10(月) 23:07:35: 命題　函数f(x)が与えられているとする.
aに近づく任意の増加列{x_n}に対して数列{f(x_n)}は収束するなら,
これらの数列は皆同じ値に収束する.またこの極限値をαとおくと,lim_{x→a-0}f(x)=α.

証明　{x_n},{x'_n}をともにaに近づく増加列とし,lim_{n→∞}f(x_n)=α,lim_{n→∞}f(x'_n)=α'とする.
m∈{n∈N;a-1<x_n<a}=n_1としx''_1=x_{n_1}とおく.
m∈{n∈N;x''_1<x'_n<a}=n_2としx''_2=x'_{n_2}とおく.
m∈{n∈N;x''_2<x_n<a}=n_3としx''_3=x_{n_3}とおく.
この操作を繰り返してつくった数列{x''_n}はaに近づく増加列であるので
lim_{n→∞}f(x''_n)は存在する.この値をα''とおく.
{f(x''_n)}は{f(x_n)},{f(x'_n)}の部分列をともに部分列として含むので定理>>15よりα''=α=α'.
ある正数εが存在して,任意の正数δに対してa-δ<x<aであっても|f(x)-α|≧εであるxが存在したとする.
そうするとa-1<y_1<aであって|f(y_1)-α|≧εであるy_1が取れ,
(y_1+a)/2<y_2<aであって|f(y_2)-α|≧εであるy_2が取れ,
(y_2+a)/2<y_3<aであって|f(y_2)-α|≧εであるy_3が取れる.
この操作を繰り返して作った数列{y_n}はaに収束する増加列であるので
lim_{n→∞}f(y_n)=αである.不合理.■

新着レスの表示

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板