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「集合・位相入門」輪読会★2

252：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/02/21(火) 00:07:14
>>174
(4.8)μ^ν*μ^ρ=μ^(ν+ρ)
【証明】
・準備
ordA=μ、ordΛ=ν、ordΜ=ρとなる整列集合Λ,Μを取る。ただしΛ∩Μ=φ
これらから「和、積、冪の順序数が定義される」整列集合を構成していく。
新しい整列集合における順序の定め方は今までの通りである。
和>>131-132、積>>148、冪>>221

まずν+ρ=ord(Λ∪Μ)。
直積Π[α∈Λ]Aの部分集合B=｛b∈Π[α∈Λ]A｜b_α≠minAなるαは有限個｝、
直積Π[β∈Μ]Aの部分集合C=｛c∈Π[β∈Μ]A｜c_β≠minAなるβは有限個｝、
直積Π[γ∈Λ∪Μ]Aの部分集合D=｛d∈Π[γ∈Λ∪Μ]A｜c_γ≠minAなるγは有限個｝とする。
するとμ^ν=ordB、μ^ρ=ordC、μ^(ν+ρ)=ordD。
そこでμ^ν*μ^ρ=μ^(ν+ρ)⇔B×C〜D(順序同型)だから、
B×CからDへの順序同型写像fが存在することを示せばよい。

そこでfを推定してみる。
f：B×C→Dをf(b,c)=f((b_α)[α∈Λ]，(c_β)[β∈Μ]）=(d_γ)[γ∈Λ∪Μ]=dとさだめる。
ただしdはd_γ=b_γ(γ∈Λのとき)、d_γ=c_γ(γ∈Μのとき)というAの元の族である。
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