「集合・位相入門」輪読会★2

148：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:20:40: つづき。

濃度のときと同じように、今度は順序数μ、νの積μνを定義しましょう。
A、BをそれぞれordA=μ、ordB=νであるような整列集合とします。
(今度は必ずしもA∩B=φである必要はありません。)
目標としては、直積A×Bに適当な順序を入れて整列集合を作って、その集合の順序数ord(A×B)
をμνと定義することを目指します。
そこで、A×Bに次のような順序≦を導入します。
(a,b),(a',b')∈A×Bに対し、
　(a,b)≦(a',b')　⇔　(b＜b')∨(b=b'∧a≦a')
と定義します。
念のため断っておくと、b＜b'の"＜"はBにおける順序であり、a≦a'の"≦"はAにおける順序です。
≦_Aとか≦_Bって書いてもいいんですが、とくに誤解が起きる恐れがないところでは、
普通に≦とかくことにします。その方が見易いんで。
ちょっと、脇道にそれましたが、先の定義は乱暴に言ってしまえば、
先にBの元の大きさを比べて、決まらなかったらAの元の大きさを比べろってことです。
このように、定義した≦がA×Bにおける順序になることは容易に示されます。――(注1)

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