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雑談スレッド

336S~(社会人):2007/03/30(金) 10:39:04 ID:d9i24jSo
>>335 の改訂版です。

lim_[x→0](sinx)/x=1 の証明

( 証 )
定義: 円周/直径=π から、
円周=π*直径=2π ( 半径=1 )
このとき、中心角を 2π( ラジアン ) とする。

いま、
単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n)/(π/n))
→2π( 円周 ) ( n→∞ ) … (*)
したがって、
(sinx)/x→1 ( x→0 )

(*) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集合である。
とする。
さて、内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。
したがって、 底辺の長さ→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。
このとき、線分 OM の大きさは全二等辺三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち円 O の半径に近づく。
よって、 n→∞ のとき中点 M は極限で底辺の両端点と合一して、 全中点 M[n] は連続かつ円 O の中心から等距離となり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形の極限としての円は元の円に相等しい。
( 終 )

今度はどうでしょうか。


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