DS数学BBS、DS数学BBS・2 を Red cat さんが引き継がれ、継続することとなった由、先程知りました。かように賑わっている掲示板が閉鎖されるのは、とても残念だと思っていたところ、本当にありがたいことです。私のような数ヲタとしては、大歓迎で、本当に嬉しい限りです。新管理人さんには、色々お世話になるかと思いますが、今後ともよろしくお願いします。何の役にも立てませんが、陰ながら応援申し上げます。
>>288
＞数学の世界に、そのような立場があった
ええ、「直観主義的集合論」と言われるものです。
古典主義論理の立場に立つ以上、
P :「自然数全体の集合 N の空でない部分集合 X には最小元がある」
は正しい命題であり、証明も出来ます。しかし、直観主義論理の立場では、
P が正しい、ということを、「P が成り立つことを確認する(有限時間で
終わる)方法を具体的に持っている」と解釈します。この立場からは、命題
P は、正しいとも正しくないとも言い切れません。
如かして、 「 大小の異なる無限個の元をもつ数の集合 A に或る元 a が
在って、 a を除いた A のいずれの元よりも a が大なるとき、 a を
無限大と定義する。 」とすれば、 R″ は R と濃度が等しくかつ元の並び
方も同様の順序であるから、 ∞'∈R' については、 R'∋∞'＞∀r'∈R'-｛∞'｝
であることから ∞'=∞ である。
(*) 定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集合である。
とする。
さて、内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。
したがって、 底辺の長さ→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。
このとき、線分 OM の大きさは全二等辺三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち円 O の半径に近づく。
よって、 n→∞ のとき中点 M は極限で底辺の両端点と合一して、 全中点 M[n] は連続かつ円 O の中心から等距離となり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形の極限としての円は元の円に相等しい。
（ 終 ）
