雑談スレッド

293：S（社会人）：2005/11/23(水) 22:06:33 ID:dkSeijIE: >>288　just information　です。

＞「自然数全体の集合Nの空でない部分集合Xには最小元がある」
　についてですが、　杉浦光夫著「解析入門 Ι 」（東京大学出版会）　の
ｐ.１１　辺りを書き出して見ますと･･･

（２．４）Ｎ　の任意の有限部分集合　Ａ≠φ　は、最小元　ｍｉｎＡ　を持つ．

これは　Ａ　の元の個数　ｍ　に対する数学的帰納法による．　ｍ＝１　で
Ａ＝｛ａ｝　のときは　ａ　が最小元である．　ｍ＝２　のときは　Ｎ　が
全順序集合であることから　ｍｉｎＡ　が存在する．　ｍ＞１　とし、
ｍ－１　個の元を持つ集合に対し　（２．４）　が成り立つと仮定して、
ｍ　個の元を持つ　Ａ　を考える．　ａ∈Ａ　をとり、　Ａ－｛ａ｝＝Ｂ
とおくと、帰納法の仮定から　ｍｉｎＢ＝ｂ　が存在する．このとき
ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝＝ｍｉｎＡ　となる．

定理２．２　Ｎ　の空でない任意の部分集合　Ａ　は、最小元　ｍｉｎＡ
を持つ．

証明　ｍ∈Ａ　を取る．　Ａ∩Ｎ（ｍ）＝φ　（Ｎ（ｍ）＝｛ｎ∈Ｎ｜ｎ＜ｍ｝）
ならば、　ｍ＝ｍｉｎＡ　である．　Ａ∩Ｎ（ｍ）≠φ　ならば、　（２．４）
により　ｍｉｎ（Ａ∩Ｎ（ｍ））＝ｎ　があり、　ｎ＝ｍｉｎＡ　である．

のようになっています。

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