雑談スレッド - 1069760595 - したらば掲示板

288：夢色未来：2005/11/20(日) 09:07:24 ID:YAy1dx5g: いつもお世話になっております。
長文の書き込みをお許しください。

以下は、本来、数学BBSにかくべき内容だが、自分の着想ながら、
あまりに奇抜で突飛な内容であり、まっとうな数学的議論に
耐えうる話なのか、疑問がある。（自信がないのだとも言える）
そこで、まず雑談レヴェルでのご意見を拝聴し、然るのち、
各数学質問掲示板等への回付を検討することとしたい。

３日程前、数学マニアの友人から電話があった。内容は、
あるWebsiteで、
「自然数全体の集合Nの空でない部分集合Xには最小元がある」
ことを証明せよ、という問題を見つけたが（答は載っていない）、
当たり前のことじゃないか、何を、どう証明したらいいのか？
ということである。
私は、彼の言うとおりだと思いながらも、“自然数を要素とし、
かつ最小元をもたない”集合の存在可能性について、思いを巡らし、
そして以下に述べるような集合を考えてみた。
すなわち、
少数展開した円周率πの少数第(100n-99)桁から100n桁（1≦n）までの、
100個の数字の並びの中に0が何個現れるかを調べ、
an＝101－｛πの少数第(100n-99)桁～100n桁までに現れる0の個数｝（1≦n）
で定義される数列｛an｝を考えてみる。

次に、｛an｝の「取り得る」値を要素とする集合を想定し、P100とかく。
（P100の100は、小数点を100桁ごとに区切ったことを意味している）
すると、集合P100は明らかに、要素が自然数である（有限）集合である。

しかし、実際にここで、具体的に集合P100の要素をすべて確定して、
列挙することは、途方もなく困難な作業であることに気づくだろう。

それでは、考えてみよう。1はP100の要素であろうか？

1∈P100ということは、πを少数展開したとき、
0が100回連続して現れる箇所がある、ということである。
（現在のところ、πは少数点以下何桁までの計算がなされているのか、
よくは知らないが、0が100回連続して現れる箇所があるという話は
きいたことがない）

では、逆に「1はP100の要素ではない」ことは証明され得るであろうか？
困難だと思う。（素人故、よくわからないが。）

それでも、今はまだ未解決で、真偽の証明が未だできていないとしても、
少なくとも「1∈P100」と「1はP100の要素ではない」のいずれか一方が
「真の命題」としてその真偽は確定的に決まっているのだ、
とは言えるかもしれない。

だが、πの少数点以下の数字は、永遠に、無限に続くのであり、
何人もそのすべてを書きつくすことなどできない。
無限に多くの対象に対しては、その全部を調べ尽くすことはできない以上、
その対象の中に、何かが「存在する」という主張あるいはその不存在性が、
ときに「本質的に決定不能」な命題であることもあり得るのではないか。
（数学の世界に、そのような立場があったはずである。）

以上のような立場に立ったうえで、
「1∈P100」が決定不能な命題であると考えると、
集合P100に最小元が「存在する」と言えるかは、「微妙である。」
一方、P100が自然数全体の集合Nの空でない部分集合（しかも有限集合）
であることに疑いの余地はない。

以上により、「自然数全体の集合の空でない部分集合には最小元がある」
という命題には、疑をさし挟む余地がある－。

（なお、πの計算で0が100回連続して現れる箇所が見つかったなら、
P1000やP10000を考えて、同様の議論を行えばよい）

（以上の内容は、件の友人にメールした）