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談話室 第5番 ハ短調 作品67
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付けたし：アルゴリズムがZFC内に存在しないだけでなく、ZFCの
外にあってもset theoretic formula自体にアルゴリズムを使うのは
危険である。ZFCで実数、あるいは簡単のため集合 X={0,1}^ω
（ωは自然数）を定義したとする。このとき、あるZFCのformulaが
この集合 X の特定の元を定義するか否かは判定不能である。
判定不能というのは、判定するTuring機械が（ZFCの外であっても）
存在しないということでもよいし、そもそも人間には無理という
程度でもよい。なぜなら、もし与えられたformulaが X の元を指定
するか否かを判定できるのなら、そのようなformulaを辞書式順序で
s_1,s_2,...のように枚挙していけるが、対角線論法により
「x(i) := s_i が定義する X の元の第 i 成分 + 1 (mod 2)」
として X の元 x を定義できる。しかし、x はどの s_i が指定する元
とも異なるから、s はs_1,s_2,...に現れてないことになる。
もちろんゲーデルの不完全性定理を使えば話はもっと簡単で、
明確に定義されたある集合について、それが空であるか否かを
判定できないのであるから、それを適当にくっつければ、大抵の
性質はset theoretic formulaから判定不可能なことが分かる。
今野埋め込みは誰かがちゃんと読んでると思うよ。幾つもの
ステップが簡略化されて来てるから、いつかは本質が何なのか
はっきりするんじゃないか。
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