『解析概論』輪読

93：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/11(日) 05:44:42: 例　lim{x→0}(sin x/x)=1.

証明　もしx>0の範囲でlim{n→∞}(sin x/x)=1が示されていれば,
任意の正数εに対して正数δがあってx<δなるxに対して|sin x/x-1|<εとできる.
sin(-x)/(-x)=sin x/xであるので,|x|<δなるxに対しても|sin x/x-1|<εとできる.
よってx>0のときlim{x→0}(sin x/x)=1であることを示せばよい.
0<x<π/2として,平面上に中心をO,半径を1とする中心角2xの円弧を描く.
円弧の両端点をA,Bとし扇型OABを考える.∠AOBの二等分線と線分ABの交点をH,
直線OHと円弧ABの交点をK,点A,Bにおける円弧の2接線の交点をCとする.
このとき三角比の定義よりAM=sin x,AC=tan x,弧AK=xである.
弧ABの長さは第三章四十節で後述するように,弧AB上にいくつかの点をとって
それらを結んでできる折れ線の長さたちの上限であるので
線分ABの長さは弧ABの長さより大きくはない.
弧AD上の二点を結ぶいかなる線分も線分ACと鋭角をなす.
したがって弧AB上のいかなる折れ線の長さよりも折れ線ACBの長さのほうが大きい.
よって弧ABの長さは折れ線ACBの長さより小さくはない.
即ち0<x<π/2のとき0<sin x<x<tan x.これよりcos x<sin x/x<1.
0<sin x<xよりlim{x→0}sin x=0,
>>90の命題(2°),(3°)よりlim{x→0}cos x=lim{x→0}(1-2sin^2(x/2))=1.
したがって任意の正数εに対してある正数δが存在し0<x<δなるxに対して,
1-cos x<εならしめることができる.よって1-sin x/x<εならしめることもできる.■

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