『解析概論』輪読

60：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:52:21: 証明
有界な閉集合Fを無数の円が覆っていて,
この無数のうちどのような有限個の円の組もFを覆い切れないとする.
Fを含む正方形Lを考え,Lを4つの小正方形に分ける.
4つに分けられた各小正方形とFの共通集合のどれもが,
有限個の円で覆われているとすれば,
Fも有限個の円で覆われていることになるので,
小正方形のうちどれかとFの共通集合は,有限個の円では覆い切れない.
この小正方形をL_1,L_1とFの共通集合をF_1とする.L_1を4つの小正方形に分ける.
4つに分けられた各小正方形とF_1の共通集合のどれもが,
有限個の円で覆われているとすれば,F_1も有限個の円で覆われていることになるので,
小正方形のうちどれかとF_1の共通集合は,有限個の円では覆い切れない.
この小正方形をL_2,L_2とF_1の共通集合をF_2とする.
このようにして小正方形の列{L_n}とFの部分集合の列{F_n}ができる.
すべてのnでF_n⊂L_n,L_{n+1}⊂L_nで,
nが限りなく大きくなるとL_nの径は限りなく0に近づくので,
定理>>58によりすべてのF_nに含まれる点が一意に存在する.
その点をAとする.AはFに関する集積点でありFは閉集合であるのでA∈Fである.
よってAはFを覆う無数の円のうちのどれか1つに含まれる.
n→∞のときF_nの径は0に近づくので,ある番号以上のF_nはAを含む円に含まれる.
これはFを覆う無数の円のうちのからどんな有限個の円の組を選んでも,
それらでF_nを覆えないことに反する.したがって定理は成り立つ.■

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