『解析概論』輪読

58：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:50:59: 点の集合Sの径とは,{PQ;P∈S,Q∈S}の上限のことであるとする.

定理
有界な閉集合の列{S_n}が,すべての自然数nでS_{n+1}⊂S_nが成り立っており,
S_nの径をd_nとおけばlim[n→∞]d_n=0が成り立つとき,
すべてのS_nに共通して含まれる点がただひとつ存在する.

証明
各S_nから点P_nをとってつくった点列{P_n}はn≧mならS_m⊂S_nで
lim[n→∞]d_n=0だから,任意の正の数εに対し,ある番号N以上のnで
d_n<ε.よってあるn≧m>NならP_nP_m≦d_n<ε.定理>>36によって
lim[n→∞]P_n=Pなる点Pがある.
ある番号k以上ですべてP_n=Pであるとする.
あるnで￢(P∈S_n)とするとn以上のすべてのlで￢(P∈S_l).となってしまい,
kよりもnよりも大きなlでP=P_l∈S_lであることに反する.
よってすべてのnでP∈S_n.
{P_n;n∈N}が無数の点を含むとすると,Pは任意のnに対してS_nの集積点である.
S_nは閉集合であるから,P∈S_n.
QもすべてのnでQ∈S_nであるとすると,任意の正の数εに対して,ある番号以上のnに対して,
0<PQ<d_n<εであるのでP=Q.■

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