『解析概論』輪読

52：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:47:47: 定理
有界な無数の点の集合に関する集積点は必ずある.

証明
二次元のときを証明する.有界な無数の点の集合をAとするとAはある正方形L_1に含まれる.
L_1={(x,y);a_1≦x≦b_1,c_1≦y≦d_1}とする.
L_1を4つの小正方形に分割すると,そのうち少なくとも1つはAの点を無数に含む.
その小正方形を
L_2={(x,y);a_2≦x≦b_2,c_2≦y≦d_2}とする.
L_2を4つの小正方形に分割すると,そのうち少なくとも1つはAの点を無数に含む.
その小正方形を
L_3={(x,y);a_3≦x≦b_3,c_3≦y≦d_3}とする.
この操作を繰り返すとa_1≦a_2≦…≦a_n≦…≦b_n≦b_{n-1}≦…≦b_1,
c_1≦c_2≦…≦c_n≦…≦d_n≦d_{n-1}≦…≦d_1なる数列{a_n},{b_n},{c_n},{d_n}が
得られる.
b_{n+1}-a_{n+1}=(b_n-a_n)/2,d_{n+1}-c_{n+1}=(d_n-c_n)/2だから定理>>32により,
すべての[a_n,b_n]に含まれるα,すべての[c_n,d_n]に含まれるβが存在する.
点(α,β)のいくらでも近くに無数のAの点があるので(α,β)はaに関する集積点である.
3以上のdに対してd次元のときは,有界な無数の点の集合を含むd次元立方体を考え,
それらを順次2^d個の小立方体に分割していき,上と同じ論法をとればよい.■

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