『解析概論』輪読

43：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:42:12: 例
a_(2n)=1+{(-1)^n/n},a_{2n-1}=(-1)^n/nのときlimsup[n→∞]a_n=1,liminf[n→∞]a_n=0,
{a_n}は1より大きな項も,0より小さい項も無数に含む.

証明　任意の正の数εに対して,1/ε<Nなる自然数NをとればN以上の自然数nに対して
|a_{2n}-1|=1/n≦1/N<ε.よってlim[n→∞]a_{2n}=1である.
α>1とすると,nが奇数や4で割って2余る自然数であるとするとa_n<1,
1/(2(α-1))<n<1/(α-1)のとき(1+α)/2<a_(4n)<αであるがこれを満たすnは有限個である.
よってlimsup[n→∞]a_n=1.正数εに対し,1/ε<Nなる自然数Nをとれば,
n>Nで|a_(2n-1)|<ε.よってlim[n→∞]a_(2n-1)=0.
β<0とすると,nが偶数や4で割って3余るときは
0<a_n,β<a_(4n-3)<β/2を満たす自然数nは有限個であるので
liminf[n→∞]a_n=0.任意の自然数nに対してa_(4n)は皆1を超え,
a_(4n-3)は皆0より小さい.■

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