『解析概論』輪読

35：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:11:57: A⊆R,B⊆R,A≠Φ,B≠Φ,A∪B=R,A∩B=Φとし,任意のx∈A,y∈Bに対してx<yが成り立つとする.
A≠Φ,B≠Φであるからa_1∈A,b_1∈Bなる実数a_1,b_1がとれる.
(a_1+b_1)/2がもしAの元であるなら(a_1+b_2)/2=a_2,b_1=b_2とし,Bの元であるなら
その点をa_1=a_2,(a_1+b_2)/2=b_2とする.
いずれにしてもa_1≦ a_2<b_2≦ b_1,a_1∈A,a_2∈A,b_1∈B,b_2∈Bである.
そこで(a_2+b_2)/2がAの元なら(a_2+b_2)/2=a_3,b_2=b_3,Bの元なら
a_3=a_2,(a_2+b_2)/2=b_3とする.いずれにしてもa_1≦ a_2≦ a_3<b_3≦ b_2≦ b_1,
a_1∈A,a_2∈A,a_3∈A,b_1∈B,b_2∈B,b_3∈B.
この操作を繰り返しI_n=[a_n,b_n]とおくと, I_{n+1}⊆ I_n,lim[n→∞](b_n-a_n)=0なる
閉区間の列が得られる.よって定理>>により,すべてのI_nに属する点αが存在する.
この点αがAの元であるとするとα<yであるならα≦ b_n<yなる自然数nが存在する.
y∈Aならb_n∈Bだからy<b_nとなってしまうのでy∈B.
したがってαはAの最大数である.このときBに最小数βが存在するとしたら,
α∈A,β∈Bだからα<βである.
lim[n→∞]b_n=αだからα≦b_m<βなる自然数mが存在するが,b_m∈Bであるので矛盾.
よってBに最小数はない.
αがBの元であるとするとx<αであるならx<a_n≦αなる自然数nが存在する.
x∈Bならa_n∈Aだからa_n<xとなってしまうのでx∈A.したがってαはBの最小数である.
このときAに最大数γが存在するとしたら,γ<αである.lim[n→∞]a_n=αだから
γ<a_n≦αなる自然数nが存在するが,a_n∈Aであるから矛盾である.
よってAに最大数はない.
以上によって定理>>32よりDedekindの公理が導かれた.

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