『解析概論』輪読

27：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:07:03: では。つづきを担当しましょうかね。
例１.
a>0ならばlim[n→∞][n]√a=1.

証明
a>1のとき,[n]√a/[n+1]√a=a^{(1/n)-(1/(n+1))}=a^{1/n(n+1)}=[n(n+1)]√a>1
なので数列{[n]√a}は減少数列.すべての自然数nに対して[n]√a>1であるから
定理>>20より数列{[n]√a}は収束する.
lim[n→∞][n]√a=αとおけば定理4によりα≧1.
α>1であるとするとα-1>h>0なるhが存在し,
すべての自然数nに対して[n]√a>1+hが,したがってa>(1+h)^n>nhが成り立つ.
1+h≧[n_0]√aとなる自然数n_0があるとすれば{[n]√a}が減少であることより
n_0以上のnに対して,α>1+h≧[n]√aとなり{[n]√a}はαに収束しなくなってしまうからである.
さて,n>a/hなる自然数nに対してnh>aとなるのでこれは矛盾.したがって,α=1.
a=1のときは[n]√a=1となるのでlim[n→∞][n]√a=1.
0<a<1のときは1<1/aであるので定理5(4)より
lim[n→∞][n]√a=lim[n→∞][n]√{1/(1/a)}
=lim[n→∞]{1/[n]√(1/a)}=1/1=1■

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