『解析概論』輪読

133：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/31(月) 13:16:50: 命題　A,Bが共通部分を持たない有界な閉集合なら
ρ(A,B)=P_0Q_0となるAの境界点P_0とBの境界点Q_0が存在する.

証明　下限の意味からAの点列{P_n}とBの点列{Q_n}で,
lim[n→∞]P_nQ_n=ρ(A,B)なるものが取れる.
Aは有界であるから{P_n}から収束する部分列{P'_m}がとれる.
このとき定理>>15よりlim[m→∞]P'_mQ_m=ρ(A,B).
Bは有界であるから{Q_m}から収束する部分列{Q'_k}がとれる.
ふたたび定理>>15よりlim[k→∞]P'_kQ'_k=ρ(A,B).
定理>>15と同様の証明によりlim[k→∞]P'_k=P_0,
lim[k→∞]Q'_k=Q_0なる点P_0,Q_0が存在する.
A,Bは閉集合なのでP_0,Q_0はそれぞれA,Bの点である.
任意の正数εに対して,ある番号以上のkでP'_kP_0<ε/2,Q'_kQ_0<ε/2とできるが,
このとき
|P_0Q_0-P'_kQ'_k|≦|P_0Q_0-P_0Q'_k|+|P_0Q'_k-P'_kQ'_k|≦ Q_0Q'_k+P_0P'_k<ε
となるので
ρ(A,B)=lim[n→∞]P_nQ_n=lim[k→∞]P_kQ_k=lim[k→∞]P_klim[k→∞]Q_k=P_0Q_0.
もしP_0がAの内点であるとすると
線分P_0Q_0上にρ(A,B)=P_0Q_0>RQ_0をみたすAの点Rが存在し,
ρ(A,B)が下限であることに反する.
もしP_0がAの外点であるとするとAの点列{P'_k}がP_0に収束することはありえない.
よってP_0はAの境界点.同様にQ_0もBの境界点である.■

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