『解析概論』輪読

129：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/31(月) 13:07:33: 開集合･閉集合
　集合Sが開集合であるとはSの各点がSの内点であることである.
集合Sが閉集合であるとは定義>>54で述べたように
Sに関する集積点がSの点であることである.

命題　互いに余集合であるSとS'は一方が開集合であれば他方は閉集合である.

証明　Sが開集合であるとし,点PがS'に関する集積点であるとする.
PがSの点であるなら,PはSの内点となるのでPに十分近い点はみなSの点となる.
これはPがS'に関する集積点であることに反するのでPはS'の点である.
すなわちS'は閉集合である.
Sが閉集合であるとし,点PをS'の点であるとする.
Sは閉集合であるからPはSに関する集積点ではない.
即ちPの十分近くにはSの点は存在しない.
よってPに十分近い点はみなS'の点であることになり,
PはS'の内点となる.したがってS'は開集合.■

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