『解析概論』輪読

54：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:48:50: 定義
点の集合Sが閉集合であるとは,Sに関する集積点が皆Sの点であることをいう.

例
閉区間[0,1]は閉集合.

証明
x<0なら(x,x/2)内に[0,1]の点はひとつもなく,
1<xなら((1+x)/2,x)に[0,1]の点はひとつもない.
0<εなら,1/ε<nなる自然数nに対して1/n∈[0,1]であるので
0にいくらでも近い[0,1]の点が無数にあり,
1-ε<1なら1/ε<nなる自然数nに対して1-(1/n)∈[0,1]であるので,
1にいくらでも近い[0,1]の点が無数にある.
0<x<1であるとすると,1/ε<nなる自然数nに対して,
x-ε<x-(1/n)<x+εであるからxにいくらでも近い[0,1]の点が無数にある.
以上より[0,1]に関する集積点は[0,1].■

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