『解析概論』輪読

114：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/11(火) 01:28:36: 二変数x,yの函数f(x,y)が連続であるならxを固定してyの函数と見たとき,
yを固定してxの函数と見たとき,それぞれ連続となるが,逆に,xを固定してyの函数と見たとき連続で,
yを固定してxの函数と見たとき連続であったとしても,二変数函数としては連続であるとは限らない.

証明　f(x,y)が連続であるとする.
xを固定してyの函数と見たf(x,y)をg_x(y)とおく.
任意の正数εに対し,ある正数δがあって,√{k^2+l^2}<δであるなら
|f(x+k,y+l)-f(x,y)|<εとできる.
よって
任意の正数εに対し,ある正数δがあって,|l|<δであるなら|g_x(y+l)-g_x(y)|<εとできる.
yを固定してxの函数と見たf(x,y)をh_y(x)とおく.
任意の正数εに対し,ある正数δがあって,√{k^2+l^2}<δであるなら
|f(x+k,y+l)-f(x,y)|<εとできる.
よって
任意の正数εに対し,ある正数δがあって,|k|<δであるなら|h_y(x+k)-h_y(x)|<εとできる.
(x,y)≠(0,0)でf(x,y)=2xy/(x^2+y^2),f(0,0)=0とおけば,f(x,y)はxを固定してyの函数と見たときも,
yを固定してxの函数と見たときも連続であるが(命題>>90よりわかる),二変数函数と見たときは(0,0)で不連続.
実際,任意の実数θに対して点列{(1/n,tanθ/n)}は(0,0)に近づくが,f(1/n,tanθ/n)=sin2θとなる.■

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