『解析概論』輪読

112：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/11(火) 01:24:44: f(x)^y=f(xy).

証明　xに収束する増加有理数列を{x_n},yに収束する増加有理数列を{y_n}とする.
f(x)^y=f(x)^{lim_{n→∞}y_n}=lim_{n→∞}f(x)^{y_n}
=lim_{n→∞}f(lim_{m→∞}x_m)^{y_n}
=lim_{n→∞}(lim_{m→∞}f(x_m))^{y_n}
=lim_{n→∞}(lim_{m→∞}f(x_m)^{y_n})
=lim_{n→∞}(lim_{m→∞}f(x_my_n))
=lim_{n→∞}(f(lim_{m→∞}x_my_n))
=lim_{n→∞}f(xy_n)=f(lim_{n→∞}xy_n)=f(xy).
ここでrを任意に固定された有理数であるとしたときのxの関数x^rが(0,∞)で連続であることを用いた.
この事実そのものは任意に固定された自然数nに対して,
xの関数x^{1/n}が(0,∞)で連続であることが分かれば,示される.
実際,x^{1/n}が(0,∞)で連続であるならrが正の有理数のときは命題>>90を有限回用いれば
x^rも(0,∞)で連続であるということが分かるし,
rが負の有理数のときは,x^r=(x^{-r})^{-1}なので
これも命題>>90によって(0,∞)で連続であることが分かる.
以下x^{1/n}が(0,∞)で連続であることを示す.
任意の正数εに対して|h|をxよりもnx^{(n-1)/n}εよりも小さくとると,
|(x+h)^{1/n}-x^{1/n}|=|h|/|(x+h)^{(n-1)/n}+(x+h)^{(n-2)/n}x^{1/n}+…+x^{(n-1)/n}|
≦|h|/|nx^{(n-1)/n}|<ε.■

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