東大の授業で奮闘するスレ

99：名無し研究員さん：2005/06/11(土) 02:33:25: >>98 考え方だけ。

A の列ベクトルを A_i とおく。その長さは | A_i | = L_i ≦ n^(1/2) M である。
|det A| はユークリッドn 次元空間における体積に相当する。
よって、その最大値は各列ベクトルが互いに直交する時に実現する。
その時の体積は |det A| = L_1 * L_2 *････* L_n ≦ n^(n/2) M^n である。

以上の事を既習の内容に基づいて表現できれば良い。(ちゃんとやるのは面倒だよ)

後半は { A_i } の中に第一成分が≠0 の物があれば、その一つが A_1 である
として、一般性を失わない。その様な物が無ければ、|det A| = 0
A_1 以外の列ベクトルに第一成分が≠0 の物があれば、 A_1 を加減して
第一成分=0 となるベクトルに置き換えて得られる行列 A’ は A と同じ
行列式を持つ。よって A_1 以外の列ベクトルは第一成分が=0 であるとして
も、この問題では一般性を失わない。同様に |det A| = 0 もしくは
A_2 以外の列ベクトルが第二成分が=0 であるとしても、この問題では
一般性を失わない。以下同様にして、 |det A| = 0 もしくは A 三角行列で
あるとしても良い。よって |det A| = -1, 0 , 1 の何れかとなる。

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