東大の授業で奮闘するスレ

166：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/02/17(金) 19:12:41: >>165[3](1)
a_k=∫[((k-1)π)^1/λ,(kπ)^1/λ]sin(x^λ)dx(k=1,2,・・・)、S_0=0、S_n=Σ[k=1,n]a_k(n=1,2,・・・)とおく。
正の実数tに対しf(t)=∫[0,t]sin(x^λ)dxとする。
t∈[((n-1)π)^1/λ,(nπ)^1/λ]となる自然数nが必ず存在するが、このときf(t)の収束を示すには、
S(n-1)<f(t)<S(n)またはS(n)<f(t)<S(n-1)となることと、t→∞のときn→∞から、、挟み撃ちの原理より、S(n)の収束を示せば十分。
するとS(n)は交項級数なので、S(n)の収束を示すには、a_k→0(k→∞)を示せば十分。
ここでsin(x^λ)≦1より、|a_k|≦∫[((k-1)π)^1/λ,(kπ)^1/λ]1*dx=(kπ)^1/λ-((k-1)π)^1/λ→0(k→0)★1
よってf(t)は収束。
★1はx>0を変数とする関数g(x)=(x+1)^α-x^α(αは0<α<1なる定数)についてlim[x→∞]g(x)=0を示せばよい。
平均値の定理より∀x；∃c∈(x,x+1)；(x+1)^α-x^α=αc^(α-1)するとc>x,α-1<0より
∴∀x；0<g(x)<αx^(α-1)。αx^(α-1)→0(x→∞)だからlim[x→∞]g(x)=0。

こんな感じ？広義積分関係ないじゃん・・・試験場じゃ無理だろ

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