東大の授業で奮闘するスレ

165：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/02/16(木) 22:26:05: >>147
(1)a,b,c,dについて分解する。(2)かけざんして確かめる。
(3)Bの固有値を求めると1(固有空間2次元)、-1(固有空間2次元)よって対角化可。
定理：「積について可換なら同時三角化可能」より、BCDは同時に対角化可能。
というわけでBCDの共通固有ベクトルを求め、正規直交化してならべたものをXとすればよい。
(4)tXQXが対角行列になるので一瞬。(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)
(5)detQを強引に展開して計算するとa^4-2(b^2+c^2+d^2)a^2+8bcda+b^4+c^4+d^4-2(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)
そこでキーになる因数分解公式が得られる：
x^4-2(b^2+c^2+d^2)x^2+8bcdx+b^4+c^4+d^4-2(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)=(x+b+c+d)(x+b-c-d)(x-b+c-d)(x-b-c+d)
実際、4次方程式が与えられたら平行移動で3次の係数は消せるから、あとは上の公式にあてはめられるように
bcdを求めればよい。2次、1次、0次の係数がpqrとして、p=‐2(b^2+c^2+d^2)、q=8bcd(q^2=8b^2c^2d^2)、
r=(b^2+c^2+d^2)^2-4(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)よって解と係数の関係を使えばb^2、c^2、d^2をもとめることは
3次方程式に帰着する。あとは頑張れ

うまくできてますね。これを最初に自力で思いついた人は変態としか思えません

＊数学IA期末試験反省会＊
[3]収束を判定せよ
(1)広義積分∫[0,∞]sin(x^λ)dx(λ>1は正の定数)
謎。収束しそうだから、十分大ででx^r*sinx^λ(r>1)が有界になるrを探すという定石(これも3日くらいまえに暗記したんですが)
にこだわったんですがそんなrないし・・・定石で解けない問題出さないでください＞＜
(2)Σ[n=1,∞]1/(nlog(n+1))
これは演習で似たようなのやってたのに・・・爆死

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