「集合・位相入門」輪読会★2

281：あしぺた：2006/03/02(木) 23:43:40: >>275

存在することを主張する定理を存在定理という
例：中間値の定理

存在定理は、具体的に「どこに存在するか」については何も主張していなくて、「どこかにあるよ」としか言ってないからやっかい。
でも中間値の定理から最大値の原理(実数上の連続関数は閉区間上で最大値をもつ)が言える
そこからロルの定理が言えて平均値の定理が言えてテイラーの定理まで言えてしまう
中間値の定理は、「どこかにあるよ」という釈然としない主張だが、威力が強い(笑)

ツォルンの補題も、存在定理だけど威力が強い

まあ実用的には
極大元があることを証明したいならツォルンちゃん
と覚えておくといいかも(笑)

例えば、ベクトル空間の基底とは生成系であり一次独立な系のこと
これは一次独立系のなかで包含関係について極大な元のことと同値だね
それを「基底とは極大な一次独立系」という
ベクトル空間に限らず一般に空間に基底があるとすっきりと空間が分析できるから、
基底があると嬉しい(笑)
数学を研究してて何か自分で空間を定義してみたはいいがこれって基底あるのかなという場面が出てくる
そういうときツォルンちゃんのお世話になると思うよ(笑)

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