「集合・位相入門」輪読会★2

275：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 22:39:45: p125
第3章　順序集合、Zornの補題
§5　Zornの補題の応用
前文

　Zornの補題(およびその変形)は現代数学の多方面できわめて重要な応用を持っている。この補題は(その形からいって
当然のことであるが)、ある種のものの’存在’を示すために有効に用いられる。その場合、具体的な構成方法までは
与えられないのが普通であるが、むしろこの補題は、単純な具体的構成法では示されないような’存在’を積極的に
肯定するところに意義があるのである。

　本書では、これまでに、たとえば§3の整列定理の証明にZornの補題を用いたし、また§3の問題の中にZornの補題の
いくつかの応用を与えた(このスレではやってませんが・・・)。また後半の位相空間論の部分では、たとえば
Tychonoffの定理(第5章定理13>>???さーていつになることやらｗ)の証明にZornの補題が用いられるであろう。

　しかし、このような補題の使用に慣れるためには、もっと多くの経験を積むことがおそらく必要である。そのため、本節
では本論をいくらか離れて、Zornの補題の代数系などへの二三の応用例を与えておくことにする。本節を設けたのは
いわば参考のためであって、ここでは代数系に関するいくつかの概念が仮定される。それゆえ、位相空間論に早く
進みたい読者は、本節を省略してもさしつかえない(このスレでは↑の通り管理人権限により差支えがでたのでやります、ｗ)。
ただし本節の最初の項A）はこれまで述べてきた集合論に関する話題である。

というわけでこれから「Zornの補題により極大元が存在する」という文言がどこかの印籠のごとく燦然と三連発しますが、
極大元があって、・・・それでどうなんの？と思うかもしれません。実は極大元があるという条件の使い方は似ています。
俺の国語力不足でそれを今ここには書けませんが実際の証明を見てもらえばなるほど、と思ってもらえるはずです。

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