「集合・位相入門」輪読会★2

263：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/02/28(火) 16:22:01: >>174
(4.9)(μ^ν)^ρ=μ^(νρ)
【証明】
・準備
ordA=μ、ordΛ=ν、ordΜ=ρとなる整列集合A、Λ、Μを取る。ord(Λ×Μ)=νρ。
B=｛a∈Π[α∈Λ]A｜a_α≠minAとなるαは有限個｝とするとordB=μ^ν
C=｛b∈Π[β∈Μ]B｜b_β≠minBとなるβは有限個｝とするとordC=(μ^ν)^ρ
D=｛d∈Π[γ∈Λ×Μ]｜d_γ≠minAとなるγは有限個｝とするとordD=μ^(νρ)
そこでCからDへの順序同型写像が存在することを示せばよい。

任意のCの元c=（((c_β)_α)[α∈Λ]）[β∈Μ]を考え、d=(d_(α,β))[(α,β)∈Λ×Μ]∈Dを
∀(α,β)∈Λ×Μ；d_(α,β)=(c_β)_αで定める。
cをdに対応させる写像f：C→Dは順序同型写像となる。fが全射かつ順序単射であることを示す。

・全射であること
任意のDの元dを取る。c∈Cを(c_β)_α=d_(α,β)で定めると、f(c)=dとなる。

・順序単射であること
c<c'⇔β~=max｛β∈Μ｜c_β≠c'_β｝に対し、((c_β~)_α)[α∈Λ]<((c'_β~)_α)[α∈Λ]
⇔β~=max｛β∈Μ｜c_β≠c'_β｝、α~=max｛α∈Λ｜(c_β~)_α≠(c'_β~)_α｝に対し(c_β~)_α~<(c'_β~)_α~
⇔γ~=max｛γ∈Λ×Μ｜f(c)_γ≠f(c')_γ｝に対しf(c)_γ~<f(c')_γ~
⇔f(c)<f(c')
以上より示された。□

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