「集合・位相入門」輪読会★2

217：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/02/13(月) 17:38:04: 復帰します

問．>>172のAが整列集合であることを示せ。
【証明】
任意のB⊂Aを取る。minBの存在を示せばよい。Aの定義(a_α≠e_αなるαは有限個)より、
どのBの元もあるαより先では(e_α)と同じはず：
　　　∃α_m∈Λ；∀a∈B；∀α∈Λ；α≧α_m⇒a_α=e_α　　★1
このようなα_mは一つではないが、Λは整列集合だからその中で最小なものを選べる：
　　　α_m=min｛α_m|∀a∈B；∀α∈Λ；α≧α_m⇒a_α=e_α｝
Λ<α_m>が無限集合とすると、a_α≠e_αなるαが無限に存在することになり、Aの定義に反するので
Λ<α_m>は有限集合。よって小さい方から順にΛ<α_m>=｛α(1),α(2),・・・,α(M)｝(Mは自然数)とおける。
なお、α(M+1)=α_mとおくとこれはΛにおけるα(M)の直後の元である。

ここで次のように集合B_(M+1)⊃B_M⊃・・・⊃B_1を帰納的に定める：
(i)B_(M+1)=B
(ii)k=1,2,・・・,Mのとき、B_(k+1)まで定まっているとする。各a∈B_(k+1)のα(k)成分の集合
｛a_α(k)｜a∈B_(k+1)｝(⊃A_α(k)で、整列集合)の最小元を与えるa∈B(一つ以上はある)
からなる集合をB_k(≠φ)とする：
　　　B_k=｛b∈B_(k+1)｜b_α(k)=min｛a_α(k)｜a∈B_(k+1)｝｝

このとき、
∀k=1,2,・・・,M；∀a,b∈B_k；a_α(k)=b_α(k)　　★2
∀k=1,2,・・・,M；∀a,b；(a∈B_k∧b∈B_(k+1)‐B_k)⇒a<b　　★3
なぜなら、★2は、a,b∈B_kならばB_kの定義と最小元の一意性から、a_α(k)=b_α(k)=min｛a_α(k)｜a∈B_(k+1)｝となることよりわかる。
★3は、a∈B_k∧b∈B_(k+1)‐B_kならば、★1と★2よりα(k+1)以降はa=b：∀α∈Λ；α≧α(k+1)；⇒a_α=b_α。
さらにa_α(k)<b_α(k)から、max｛α∈Λ｜a_α≠b_α｝=α(k)であって、a<bとなることよりわかる。

すると★1と★2によりB_1には一つしか元がなく、しかも★3によりそれがB_(M+1)=Bにおける最小元となることがわかる。
以上より示された。□

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