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「集合・位相入門」輪読会★2

172：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/06/22(水) 01:31:15
踏ん張り所！

第3章　順序集合，Zornの補題
§4　順序数
C)　順序数の演算―【整列積、冪】

本文では順序数の冪には触れていませんが、4節演習問題10番11番では取り扱っているので
ここで説明しようと思います。まずは整列集合の直積集合に順序を定義します。

(A_α)_α∈Λを、整列集合Λを添数集合とする集合族とし、各A_αはe_αを最小元とする整列集合とする。
ここで、直積Π_[α∈A]A_αの元a=(a_α)_α∈Λで、Λの高々有限個の元αを除けばa_α=e_α
であるようなものを考え、そのようなa全体の作るΠ_[α∈A]A_αの部分集合をAとする。
つまりA={a∈ΠA_α｜card({α∈Λ｜a_α≠e_α})<cardN}

Aの相異なる2元a=(a_α)、a'=(a'_α)をとる。
a_α≠a'_αとなるαは有限個しか存在しないから、β=max{α∈Λ｜a_α≠a'_α}が存在する。(注1)
このとき、
a_β<a'_βならばa<a'
a_β>a'_βならばa>a'
のように、写像a、a'の間に順序を定義する。

このようにAに順序を導入すると、この順序についてAは整列集合となる。(注2)
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