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「集合・位相入門」輪読会★2

21：Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>（DTxrDxh6）</font><b>：2005/03/17(木) 05:16:19
>>15(その2)
＞＞なぜ、「∀x∈W_0；x≦a」が「W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。」
＞＞の理由になるのですか？
＞UをW_0∪{a}の任意の空でない部分集合とする。Uが{a}ならば最小元はa、
＞Uが{a}以外ならば、U-{a}は空でないW_0の整列部分集合ゆえ、最小元cを持つ。
＞∀x∈W_0；x≦aなのでc≦a∴c=minU

＞UをW_0∪{a}の任意の空でない部分集合とする。Uが{a}ならば最小元はa、
＞Uが{a}以外ならば、U-{a}は空でないW_0の整列部分集合ゆえ、最小元cを持つ。
だけで「W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。」がいえてませんか？
あと「U-{a}は空でないW_0の整列部分集合」は
y∈U-{a}ならy∈U∧¬(y∈{a})でU⊂(W_0∪{a})∩{a}^c=W_0∩{a}^c⊂W_0,
即ちUが空でないW_0の部分集合であることと, 整列集合の部分集合は整列集合(>>905)
となることによるわけですね。

＞¬(∃x∈W_0∪{a}；a_*<x<a)
＞⇔∀x∈W_0∪{a}；x≦a_*∨x≧a

W_0は整列集合だから全順序集合, 任意のW_0の元xとW_0の上限aはx≦aと比較可能なので
W_0∪{a}も全順序集合。だから
>>http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1097576246/8
が使えるって寸法ね。
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