「集合・位相入門」輪読会★2

15：臺地 </b><font color=#FF0000>（qpPuO9q2）</font><b>：2005/03/16(水) 19:18:12: >>8
＞「∀λ∈Λ；minW_λ=x_0であるから、min(∪_[λ∈Λ]W_λ)=x_0」　の理由
xを∪_[λ∈Λ]W_λの任意の元とすると、∃λ∈Λ；x∈W_λ。
このλに対して、minW_λ=x_0よりx≧x_0。つまり∀x∈∪_[λ∈Λ]W_λ；x_0≦x
⇔min(∪_[λ∈Λ]W_λ)=x_0

＞Wの中でもx=φ(x_*)。
これはWでなくW_0でした。

＞W_λがW_0の切片と一致するときW_λ<x>=W_0<x>となる理由
W_λ=W_0<c>とおくと、W_λ<x>=(W_0<c>)<x>=W_0<x>(前スレ912より)

＞なぜ、「∀x∈W_0；x≦a」が「W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。」
＞の理由になるのですか？
UをW_0∪{a}の任意の空でない部分集合とする。Uが{a}ならば最小元はa、
Uが{a}以外ならば、U-{a}は空でないW_0の整列部分集合ゆえ、最小元cを持つ。
∀x∈W_0；x≦aなのでc≦a∴c=minU

＞W_0∪{a}が(iii)と(iv)を満たす理由
xをW_0∪{a}の任意の元とする。x∈W_0のときは既に両方とも示したので、
x=a=sup(_A)W_0のとき(iii)(iv)が真であることを示せばよい。

(iii)：aがW_0∪{a}の中に直前の元a_*をもつとすると、￢(∃x∈W_0∪{a}；a_*<x<a)
⇔∀x∈W_0∪{a}；x≦a_*∨x≧a⇔∀x∈W_0∪{a}；x≦a_*∨x=a
(∵aはW_0∪{a}の上界)。よってxがW_0の元ならx≦a_*が必ず成立。
つまりmaxW_0=a_*<a。これはaがW_0のAにおける最小上界であることに反する。
よってaはW_0∪{a}の中に直前の元をもたない。性質(iii)の仮定が偽なので(iii)は真

(iv)：上に書いたとおりaはW_0∪{a}の中に直前の元をもたないから、
a=sup(_A)W<a>を示さなくてはならない。ところが定義よりa=sup(_A)W_0であり、
W_0=W<a>であったから、性質(iv)は成立。

前スレ977で「よって上と同様にしてW_0∪{a}∈Ψ。」と書いたのは不適切でした。

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）